二次型矩阵形式,二次型矩阵的秩

二次型的每一项都是二次的，如果是平方则是平方项，如果是两个不同的变量则为交叉项。二次型如： x 2 + x y + y 2 x^2+xy+y^2 x2+xy+y2。

二次型->矩阵表达式
例： x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 − x 2 x 3 + 2 x 3 2 − 2 x 1 x 3 x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-x_2x_3+2x_3^2-2x_1x_3 x12​+2x1​x2​+x22​−x2​x3​+2x32​−2x1​x3​
解：

上图可表示为 X T A X X^TAX XTAX， A A A 为二次型的矩阵， A A A 的秩为二次型的秩，因此二次型的矩阵一定是对称的，即 A T = A A^T=A AT=A。

标准型
只有平方项，如 d 1 y 1 2 + d 2 y 2 2 + . . . + d n y n 2 d_1y_1^2+d_2y_2^2+...+d_ny_n^2 d1​y12​+d2​y22​+...+dn​yn2​， d i d_i di​ 可以是任意数。

线性替换
假设二次型 f ( x ) = X T A X f(x)=X^TAX f(x)=XTAX，令 X = C Y X=CY X=CY(线性替换)，可得
f ( x ) = X T A X = ( C Y ) T A ( C Y ) = Y T ( C T A C ) Y f(x)=X^TAX=(CY)^TA(CY)=Y^T(C^TAC)Y f(x)=XTAX=(CY)TA(CY)=YT(CTAC)Y
令 B = C T A C B=C^TAC B=CTAC，由于标准型只有平方项，所以其只有主对角线元素，因此换做 Y Y Y 为自变量时 f ( Y ) f(Y) f(Y) 为标准型，同时 B B B 为新二次型矩阵。

若 ∣ C ∣ ≠ 0 |C|ne0 ∣C∣​=0，则该替换为可逆替换或者非退化或者非奇异替换。