椭圆型方程及有限差分法4
§1差分逼近的基本概念 定义1.1 定义1.2 定义1.3 定理1.1(相容+稳定=收敛) §2 一维差分格式 2.1直接差分化 2.2 积分插值法 2.3 变分-差分法 2.4 边值条件的处理 §3 矩形网的差分格式 3.1 五点差分格式 3.2 边值条件的处理 3.3 极坐标形式的差分格式 §3 三角网的差分格式 例子1,2 例子3 §3 极值定理 5.2 极值定理 主要内容 重点难点 １. 差分方程、相容条件、稳定性、LAX等 价定理、先验估计、极值定理等概念； ２.构造差分方程方法(直接差分化、积分插 值法和变分-差分法)，矩形网和三角网的差分格 式，边界条件的处理。 (重点) ３.如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、 对该格式的敛速估计．(难点) 重点： LAX等价定理，构造矩形网和三角网的各种差分格式。 难点： 如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、 对该格式的敛速估计。 (i,j) (I,j-1) (i,j+1) (i+1,j) (i-1,j) A B C D * * 第四章椭圆型方程的有限差分法§1 差分逼近的基本概念 §2 一维差分格式 §3 矩形网的差分格式 §4 三角网的差分格式 §5 极值原理 第四章椭圆型方程的有限差分法 区间的剖分 1 区间的剖分 1 微分方程离散(差分方程) 1 微分方程离散(差分方程) a b 图1 数值计算中，我们学习过Lagrange插值多项式公式： Lagrange插值多项式 先从最简单的线性插值(n=1)开始。这时插值问题就是求一次多项式 P1(x)=a0+a1x 使它满足条件 P1(x0)=y0 , P1(x1)=y1 , 令P1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1 ,由于 l0(x0)=1, l0(x1)=0, l0(x0)=0, l1(x1)=1. 这样l0(x)含有因子x-x1, 令 l0(x)=λ(x-x1), 再利用 l0(x0)=1确定其中的系数，结果得到 x-x1 l0(x)=------------ , x0-x1 类似的可得到 x-x0 l1(x)=------------ , x1-x0 这样x-x1 x-x0 P1(x)=---------y0 + --------y1 , x0-x1 x1-x0 l0(x), l1(x)称为以x0 , x1 为节点的插值基函数。 * * * * *