高阶微分方程的降阶和幂级数解法,matlab解高阶微分方程组

高阶微分方程组降阶为一阶微分方程组

  相信很多小伙伴在用matlab求解微分方程的数值解需要用 ode45() 这个API，ode45需要将微分方程（组）化为一阶微分方程组，然后再带入求解。然而实际需要解决的问题往往是高阶微分方程或者高阶微分方程组，因此需要手动化为一阶微分方程组，本文实现 matlab的降阶法，适合高阶微分方程和高阶微分方程组的降阶。

降阶法原理

  降阶法原理就是引入中间变量，然后实现降阶。例如： F ( t , y , y ′ ) = 0 F(t,y,y^{'})=0 F(t,y,y′)=0   令 x 1 = y x_1=y x1​=y, x 2 = y ′ x_2=y^{'} x2​=y′,那么就可以将原来的二阶微分方程降阶为两个一阶微分方程。
d x 1 d t = x 2 d x 2 d t = G ( t , x 1 , x 2 ) begin{matrix} frac{dx_1}{dt}=x_2 \ frac{dx_2}{dt}=G(t,x_1,x_2) end{matrix} dtdx1​​=x2​dtdx2​​=G(t,x1​,x2​)​
   高阶微分方程组同理！！！

源码(Matlab) function [ output ] = De_order_diffequa( f , order)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 变化高阶微分方程组为1阶微分方程组% 输入形式：% 单个高阶微分方程：%f(Dnx,Dn-1x,..,D1x,x)=0 且为字符串或者符号表达式% order为标量，x的最高阶数% 高阶微分方程组：%f为符号矩阵 各变量的最高阶不一定相同% f1(Dnx1,Dn-1x1,..,D1x1,x1,Dn-1x2,..,D1x2,x2,..Dn-1xm,..,D1xm,xm)=0 % f2(Dnx2,Dn-1x1,..,D1x1,x1,Dn-1x2,..,D1x2,x2,..Dn-1xm,..,D1xm,xm)=0 % ...% 要求fi中只含有xi的最高阶导数 不含有其余变量的最高阶（如果实际系统含有的话% 可以把所有变量最高阶看作 新的变量 求解方程组，再调用该函数）% order为矢量，第i个值为第i个变量的最高阶数% 广义变量定义为X = [x1 D1x1 D2x1 ...Dn-1x1 x2 D1x2 ....Dm-1x2 .....]%输出output也是一个符号矩阵%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%len = length(order); % 变量个数 方程个数f = sym(f);if (len==1) % 单个高阶微分方程 output = sym('[]'); f = subs(f,'x','x(1)'); % x替换 for i = 1:order-1 % 1-order-1阶替换 str1 = ['D' num2str(i) 'x']; str2 = ['x(',num2str(i+1) ')']; f = subs(f,str1,str2); end str1 = ['D' num2str(order) 'x']; % 最高阶替换 %str2 = ['D1x(',num2str(order) ')']; str2 = 'y'; f = subs(f,str1,str2); for i = 1:order-1 str = ['x(',num2str(i+1) ')']; % 前order-1个微分方程 output=[output;str]; end last_str = solve(f,str2); output=[output;last_str]; % 第n个微分方程else % 高阶微分方程组 for i = 1:len % 循环每个变量 str1 = ['x' num2str(i)]; % 替换第i个变量 str2 = ['x(' num2str(sum(order(1:i))+1-order(i)) ')']; f = subs(f,str1,str2); for j = 1:order(i)-1 % 替换第i个变量的1-order(i)-1阶 str3 = ['D' num2str(j) 'x' num2str(i)]; str4 = ['x(',num2str(sum(order(1:i))+1-order(i)+j) ')']; f = subs(f,str3,str4); end str5 = ['D' num2str(order(i)) 'x' num2str(i)]; % 替换第i个变量的order(i)阶 str6 = ['t',num2str(i)]; f = subs(f,str5,str6); end output = sym('[]'); for i =1:len for j = 1:order(i)-1 str7 = ['x(',num2str(sum(order(1:i))-order(i)+j+1) ')'];% 第i个微分方程对应 第j个1阶微分方程 output = [output;str7]; end last_str = solve(f(i),['t',num2str(i)]); output=[output;last_str]; endendend ### 使用说明 1、上面定义了一个降阶法的函数，可以将高阶微分方程（组）化为所需的格式传入，即可得到一阶微分方程组。 2、具体方法可以参考github的测试源码。 源码gtihub

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