在二维平面中，要确定一个点的位置，需要两个独立的参数，比如在某班级可以用第几行第几列来确定某个同学的位置，这种确定方法其实就是建立了一个直角坐标系.我们也可以选择长度及角度这两个独立的参数来确定平面中点的位置，长度就是极径，角度就是极角.
当然，还可以选择其他的两个独立参数用以刻画平面中点的位置.但这两种是最经常使用的方法.因为直角坐标描述平移变动时很方便，在初中时我们就很熟悉在直角坐标系中函数图象的平移和函数解析式之间的关系，高中后也学习了曲线平移与曲线方程之间的关系.而极坐标描述点作旋转变动时，就较为方便了，因为如果绕着极点旋转，到极点的距离是不变的，而旋转的角度就刚好和极角有关.在二维空间中，主要的变换就是平移和旋转，所以用这两种方法可以刻画平面当中大部分的变换了.
我们知道刻画角的大小有角度制和弧度制，但因为本质都是刻画角的大小，只是标准不一样，所以找到一个桥梁后就可以互相转化.同样的，曲线的直角坐标方程和极坐标方程都是用来刻画曲线上点的横纵坐标的关系的，只需找到一个桥梁，必然也可以互相转化.桥梁是什么呢？转化后对于处理问题有什么帮助呢？
一、 极坐标与直角坐标的互化公式
以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同
的长度单位，平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组关系式：
解
以极点为原点，极轴为x轴的正方向建立直角坐标系.
则x=ρ・cos θ，y=ρ・sin θ，这时曲线为：x2+y2+2x－3=0，直线为x+y－7=0.
曲线是以(-1,0)为圆心，半径为2的圆.
又圆心到直线的距离d=82=42，
所以AB的最小值为42－2.
在极坐标系中，遇到计算距离，面积问题，若用极坐标法不能解决或解决较困难，我们经常将它转化成直角坐标来解决.
例3
在直角坐标系xOy中，直线l的倾斜角为π3，截距为22，以原点O为极点，Ox为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ=2cos(θ－π4)，若直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长度.
解
由题意，得
曲线C的直角坐标方程为：x2+y2=2x+2y，
即x－222+y－222=1.
直线l的方程为：y=3x+22.
圆心C22,22
到l的距离d=622=
64.
所以|AB|=21－642=102.
2. 将直角坐标化成极坐标
例4
把下列点的直角坐标化成极坐标：
(1) A(－6,2)；(2) B(2,－2) .
解
(1) ρ=－62+22=22,tan θ=－33 .
又A在第二象限，所以θ=56π.所以A点的极坐标为22,56π.
(2) 因为ρ=2+2=2,tan θ=－1，
且A在第四象限，所以θ=74π.
所以B点的极坐标为2，74π.
例5
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，过F点有一直线l与椭圆交于P，Q两点，求证：1|PF|+1|QF|为定值.
分
析过椭圆的焦点的弦被焦点分成的两部分是椭圆的两条焦半径，若以椭圆的左焦点为极点，建立极坐标系，则焦半径的长度很容易表示,为问题的解决奠定了基础.
证
明以椭圆的左焦点F为极点，建立如图2所示的极坐标系.
图2
设椭圆的极坐标方程为：ρ=ep1－ecos θ.(这里e=ca,p=b2c,c=a2－b2)
则PQ为椭圆的弦，设点P的极角为θ，则点Q的极角为π+θ，因此有
FP=ep1－ecos θ,FQ=ep1－ecosπ+θ)=ep1+ecos θ.
所以1PF+1QF=1－ecos θep+1+ecos θep=2ep=2ab2为常数.
以上两题如用直角坐标法做，虽然也能解出，但运算量大，对学生的运算能力要求高，如化成极坐标来解，则运算量大大降低.
例6
已知椭圆x224+y216=1,直线l:x12+y8=1,点P在直线l上，射线OP交椭圆于点R，点Q在OP上，且满足OP・OQ=OR2，点P在l上移动时，求Q点的轨迹方程.
解
以O为极点，Ox轴建立极坐标系，则
椭圆方程为：ρ2cos2θ24+ρ2sin2θ16=1，直线l：ρcos θ12+ρsin θ8=1.
设Q点坐标为ρ,θ，P点为ρ1,θ，R点为ρ2,θ ，则ρ・ρ1=ρ22.
又ρ1=1cos θ12+sin θ8 ，
ρ22=1cos2θ24+sin2θ16，
所以ρcos θ12+sin θ8=1cos2θ24+sin2θ16 .
所以ρ・cos2θ24+sin2θ16=cos θ12+sin θ8.
化为直角坐标方程，得x224+y216=x12+y8，
即2x2+3y2－4x－6y=0为所求Q点的轨迹方程.
极坐标与直角坐标的相互转化是在解题时，对于同一个问题从不同角度来观察、探究与思考. 以不同知识内容为切入点，找出不同的解题方案，权衡解法优劣，提高解题效率，从而培养思维能力、创新意识和创造精神，实现数学的创造.