最近有一道网红题长这样：
求
这看上去不是很像高中题，倒像是联赛的送分题，或者是拉格朗日乘数法的练习题。
在这里，我就给出一个有拉乘味道的解法：
取等条件
看了文章的标题，就能够知道上面
的系数是怎么来的了。在这里，我稍微提一下拉格朗日乘数法：
拉格朗日乘数法是用来解决条件极值问题的一种方法。
条件极值问题： 设
，求
的极值。
我们来看看拉格朗日是怎么处理这种问题的：
设
令
对
的偏导数为
，
也就是
这样解出来的
就是所有可能的极值。
相信大家已经很熟悉这种方法了，这种方法的正确性也不需要我再阐述一遍。
在文章开头的问题中，我们就用到了这样的方法，不过我将解方程组的过程直接舍去，改造成了直接利用
的数值进行配凑。
当然，这仅仅是拉格朗日乘数法最简单的形式。我先给出几道例题稍微做一些拓展：
例1
求
的最大值。
解答
当
可以取等，因此所求的值为
例2
证明
解答这是很经典的一道IMO题，这道题的变形我也在everlasting：2008江西卷理科数学22题里写过，现在让我们重复利用曾经的做法来做这道题：
原不等式即
在这里我们不妨设
这样原题等价为
证明
不妨设
令
则
容易知道
在
单调递减，在
单调递增。
因此若
则
若
则
综上原不等式成立。
虽然我只选了两道题，但可以看出这种方法可以运用的范围是很广的。
不过以上的运用例子，仍然是比较浅层的例子。下面我们来看看条件极值问题和极值点偏移问题的关系。
首先我给出结论：极值点偏移问题也是一类特殊的条件极值问题。我们先看一些最简单的例子：
例3
若
满足
证明：
(1) 若
则
(2) 若
且
则
用这道我之前出的题做例子，就可以看得出来条件极值问题和极值点偏移的联系。注意到在这个问题中
的条件其实是没有特别的限制意义的。如果将这个条件去掉，下面两个命题也只是变化为可以取等了而已。
这是条件极值问题吗？是的。这是极值点偏移问题吗？是的，因为这道题的内在和极值点偏移是一致的。
这题的做法我也不用多说了，读者可以自行解决。
例4
证明
的条件是一个令人尴尬的条件，有了它我们就不能单纯地将这个问题看做条件极值。但事实上我们可以对问题进行一些转化：
证明
这样我们就能把令人尴尬的限制条件舍去了。
我们令
求解
就行了。
好像方程看起来无解？但方程有一个“不存在的根”，恰巧是
对方程取极限后我们就可以得到这个根(当然这个极限的运算并不那么容易)。虽然这个过程在数学意义上是不严谨的，但这能帮助我们理解这类问题。
有了
之后我们即可以解决问题了：去分母以后构造
即可。
要注意，在这两个例子中，拉格朗日乘数法做法的内涵与everlasting：极值点偏移的几种分参方法中提到的法二的内涵是一致的。所构造的函数也是一模一样的。因此我们可以认为法二是拉格朗日乘数法的延伸。
当然，极值点偏移用法二来解决更加合适，那个方法是简化过的方法。我在这篇文章特意提到，仅仅是为了说明它们之间的联系。
我还有一些点子，等有时间的时候，我将会做更多的推广。