向量点积和矩阵乘积的区别和联系,向量点积和矩阵乘积的区别公式

点积 dot product

点积是针对向量而言的。
我们可以理解为维度[n,1]或者[1,n]，一维的矩阵。
在python中，我们设置一个array，查看其shape：

>>> import numpy as np>>> a = np.array([1,2,3,4,5])>>> aarray([1, 2, 3, 4, 5])>>> a.shape(5,)

可以看到维度是(5, )，并不是(5,1)或者(1,5)。
这东西刚接触的时候很容易搞不清楚。我的理解是，python把这个认定为是向量。
而向量的5其实在空间中可以认为是5个维度的意思，每个维度上有一个值。
而两个向量的点积：

>>> b = np.array([2,2,3,3,1])>>> barray([2, 2, 3, 3, 1])>>> b.shape(5,)>>> c = np.dot(a,b)>>> c32

就是每个元素相乘之后求和。

乘积 product

乘积的概念是针对矩阵来说的。
所以需要满足维度匹配才可以进行乘积，即矩阵乘法。
前面矩阵的列元素个数，需要等于后面矩阵行元素个数。
即维度 [n , m] 和 [m , k] 这两个矩阵才可以乘积。

>>> d = np.matrix([[1,2,3],[2,3,4]])>>> dmatrix([[1, 2, 3], [2, 3, 4]])>>> e = np.matrix([[1,2],[2,3],[4,5]])>>> ematrix([[1, 2], [2, 3], [4, 5]])>>> f = np.dot(d,e)>>> fmatrix([[17, 23], [24, 33]])

[2 , 3] 的矩阵和 [3 , 2] 的矩阵乘积得到一个 [2 , 2] 的矩阵。
另外，我们不用 matrix 而改用 array 也是可以的：

>>> d_2 = np.array([[1,2,3],[2,3,4]])>>> d_2array([[1, 2, 3], [2, 3, 4]])>>> e_2 = np.array([[1,2],[2,3],[4,5]])>>> e_2array([[1, 2], [2, 3], [4, 5]])>>> f_2 = np.dot(d_2,e_2)>>> f_2array([[17, 23], [24, 33]]) 区别

如果我们把两个 array 扩展一个维度出来：

>>> aarray([1, 2, 3, 4, 5])>>> a_reshape = a.reshape([5,1])>>> a_reshapearray([[1], [2], [3], [4], [5]])>>> a_reshape.shape(5, 1)

这个时候 array 维度变了。

>>> barray([2, 2, 3, 3, 1])>>> b_reshape = b.reshape([5,1])>>> b_reshapearray([[2], [2], [3], [3], [1]])>>> b_reshape.shape(5, 1)>>> a_b = np.dot(a,b)>>> a_b32

有意思的是，这里(5,1)和(5,1)的维度可以直接做乘积。这应该是python为了便利而扩展的功能吧。
如果我们把b的维度变为 (1,5)，结果还是一样的：

>>> b_reshape_2 = b.reshape([1,5])>>> a_b_2 = np.dot(a,b)>>> a_b_232>>> b_reshape_2.shape(1, 5)

如果乘积中一个矩阵超过了一维，那就要做维度匹配了。