例1、已知a^2-4a+4与丨b-3丨互为相反数，求式子(a/b-b/a)÷(a+b)的值。
分析：互为相反数的两个数和为0，很明显式子a^2-4a+4=(a-2)2是完全平方数，由非负性可解得a，b的值；而所求的式子可通过分式运算进行化简后代入a，b的值即可求出。
解：由题意得
a^2-4a+4+丨b-3丨=0，即(a-2)^2+|b-3|=0，
解得a=2，b=3。
原式=(a/b-b/a)÷(a+b)
=(a^2-b^2)/ab÷(a+b)
=(a-b)/ab
=(2-3)/2×3
=-1/6。
例2、已知√(a-1)+(ab-2)^2=0，求代数式1/ab+1/(a+1)(b+1)+…+1/(a+2019)(b+2019)的值。
分析：由非负性可求得a=1，b=2，代入所求的式子有1/1×2十1/2×3十…十1/2020×2021，利用裂项公式即可求出。
解：由非负性可得a=1，b=2。
原式=1/1×2十1/2×3十…十1/2020×2021
=1-1/2十1/2一1/3十…十1/2020一1/2021
=1一1/2021
=2020/2021
例3、要使分式(a+3)/(a-3)÷(a+2)/(a-4)有意义，求a应满足的条件。
分析：要使分式有意义，则分式的分母不能为0，即构成该分式的每一小组成部分的分式的分母均不能等于0。
所以a-3≠0，a-4≠0，(a+2)/(a-4)≠0，
当a≠3且a≠4且a≠-2时，该分式有意义。
例4、已知a+b+c=0，求式子a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)的值。
解：原式=a/b十a/c十b/a十b/c十c/a十c/b
=(a/b十c/b)+(a/c十b/c)+(b/a十c/a)
=(a+c)/b十(a+b)/c十(b十c)/a；
∵a+b+c=0，
∴原式=-b/b十(-c/c)十(-a/a)
=-1-1-1
=-3。
例5、已知(b+c-a)/(a+b+c)=(c+a-b)/(b+c-a)=(a+b-c)/(c+a-b)=m，求：
m+m^2+m^3的值。
解：m^2=(b+c-a)/(a+b+c)×(c+a-b)/(b+c-a)=(c+a-b)/(a+b+c)；
m^3=m^2×(a+b-c)/(c+a-b)
=(c+a-b)/(a+b+c)×(a+b-c)/(c+a-b)
=(a+b-c)/(a+b+c)；
∴m+m^2+m^3
=(b+c-a)/(a+b+c)十(c+a-b)/(a+b+c)十(a+b-c)/(a+b+c)
=(b+c-a+c+a-b+a+b-c)/(a+b+c)
=(a+b+c)/(a+b+c)
=1。
例6、已知abc=1，求关于X的方程：
X/(1+a+ab)+X/(1+b+bc)+X/(1+c+ca)=2020的解。
解：∵abc=1，
∴1/(1+a+ab)
=1/(abc+a+ab)
=1/a(1+b+bc)
=bc/(1+b+bc)；
1/(1+c+ca)
=1/(abc+c+ca)
=1/c(1+a+ab)
=1/ac(1+b+bc)
=b/(1+b+bc)；
∴1/(1+a+ab)+1/(1+b+bc)+1/(1+c+ca)
=bc/(1+b+bc)十1/(1+b+bc)十b/(1+b+bc)
=(bc+1+b)/(1+b+bc)
=1。
∴原方程的解X=2020。
例7、已知a+1/b=b+1/c=c+1/a，a≠b≠c，
求：a^2b^2c^2的值。
解：∵a+1/b=b+1/c，
∴a-b=1/c-1/b=(b-c)/bc，
∴bc=(b-c)/(a-b)；
同理可得：
ac=(c-a)/(b-c)，ab=(a-b)/(c-a)；
∴a^2b^2c^2
=bcacab
=(b-c)/(a-b)×(c-a)/(b-c)×(a-b)/(c-a)=1。
例8、已知3a-4b-c=0，2a+b-8c=0，求代数式：(a^2+b^2+c^2)/(ab+bc+2ac)的值。
分析：已知条件三个未知数两个方程，所以我们无法直接求出a，b，c的值，但我们可以用其中的一个字母来表示其余的两个字母。
3a-4b-c=0①，2a+b-8c=0②，
②×4+①得11a-33c=0，所以a=3c，b=2c。
原=(9c^2+4c^2+c^2)/(6c^2+2c^2+6c^2)
=1。
[拓展训练题]
1、已知分式(X-a)÷(1/X一a)有意义，那么X应满足什么样的条件？
2、已知实数a，b满足丨2a-b+1丨+√(3a-2b+4)=0，求代数式1-(a-b)/(a-2b)÷(a^2-b^2)/(a^2-4ab+4b^2)的值。
3、已知1/a一1/b=1，求代数式：
(a+ab-b)/(a-2ab-b)的值。
4、化简求值：已知a^2-1=0，求下面代数式：
(a-1)/a÷[a-(2a-1)/a]的值。
5、已知abc≠0，且a+b+c=0，求代数式：
a^2/bc十b^2/ac十c^2/ab的值。
6、若a+3b=0，求代数式：
[1-b/(a+2b)]÷(a^2+2ab+b^2)/(a^2-4b^2)的值。
7、已知a≠b≠c，且a，b，c满足：
(a+b)/(a-b)=(b+c)/2(b-c)=(c+a)/3(c-a)，求代数式8a+9b+5c的值。
8、已知abcd=1，求代数式：
1/(1+a+ab+abc)十1/(1+b+bc+bcd)十1/(1+c+cd+cda)十1/(1+d+da+dab)的值。
[参考答案]
1、X≠0且X≠1/a；
2、15/7；
3、0；
4、-1/2；
5、3；
6、5/8；
7、0；
8、1。
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