我在初中学过这样的东西。 (ab )2=a22ab B2 ) ab )2=a22ab B2。 这被称为完全平方公式。 这其实是普通多项式的乘法，但以此为起点你可以找到很多有趣的数学事实。
我们知道实数的平方在0以上。 也就是说，将a22ABb2=(AB ) a22ABb2=(AB ) 20移到右边，得到a2 b22ab a2 b22ab。 将a2a2b2分别替换为ab，可以获得以下简洁的表达式
aB2abaB2ab
也就是说，如果A B和A B有联系，a、b是正数，并且他们的和是确定的，那么他们的积就有最大的手指，相反，如果他们的积是确定的，那么他们的和有最小值，并且取最大值时，这两个数相等。 通过这个不等式，我们把加法和乘法联系起来了。 同时，两边除以2，我们就得到了
aB2abaB2ab
这个公式表示算术平均在几何平均以上，两个数相等的情况下相等
如果我们再次制造(a b )2) a b ) 2呢？ 两侧加入a2 b2 a2 b2，得到2a2b2(ab ) 2a2b2(ab )2) 2。 我不认为这含有不可思议的结论。 我们开那个处方，整理
A2B22AB2A2B22AB2
左边是均方根，右边是算术的平方根。 看来，任意两个正实数的均方大于等于它们的算术平均。 什么时候划等号，既然这两个数相等时出现了那么多平均，那么调和平均21a 1b 21a 1b在其中又处于什么地位呢？
因为1a 1b=a bab 1a 1b=a bab，所以我们可以利用ab2abab2ab的两边分配ab ab，得到1a 1b2ab 1a 1b2ab进行整理
1,121,121); line-height:30px">ab−−√⩾21a+1b ab⩾21a+1b
即几何平均数大于等于调和平均数，当ab两数相等时，它们相等
经过上面的探究我们得到这样一串不等式
a2+b22−−−−−−√⩾a+b2⩾ab−−√⩾21a+1b a2+b22⩾a+b2⩾ab⩾21a+1b
这个简洁的式子把所有的均值联系在一起，被称为均值不等式
既然是均值，那么我们能把他们扩展到三个数，四个数，甚至于无穷多个数吗？
我们先来尝试三个数的情况，因为一切都是从 a2+b2⩾2ab a2+b2⩾2ab 出发，在这里我们验证 a3+b3+c3⩾3abc a3+b3+c3⩾3abc
把3abc移到左边，同两元的情况一样，我们尝试因式分解，由其对称性和次数关系，我们得到
a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−bc−ac−ab)=(a+b+c)(a−b)2(b−c)2(c−a)22⩾0 a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−bc−ac−ab)=(a+b+c)(a−b)2(b−c)2(c−a)22⩾0
所以 a3+b3+c3⩾3abc a3+b3+c3⩾3abc 当且仅当 a=b=c a=b=c 时等号成立，从此出发，我们也可以得到同2元一样的结论
a2+b2+c23−−−−−−√⩾a+b+c3⩾abc−−−√3⩾21a+1b+1c a2+b2+c23⩾a+b+c3⩾abc3⩾21a+1b+1c
如果是4次的，那么我们直接用两次二元即可证得，所以无穷的情形也不难证得了，所以我们得到了这样一个优美的结论
a21+a22+a23...+a2nn−−−−−−−−−−−−−−−−√⩾a21+a22+a23...+a2nn⩾a1a2a3...an−−−−−−−−−−√n⩾21a1+1a2+1a3...+1an a12+a22+a32...+an2n⩾a12+a22+a32...+an2n⩾a1a2a3...ann⩾21a1+1a2+1a3...+1an
而这一切都从 (a−b)2=a2−2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2 开始
They Said "Look, one of the best attributes of human beings is that they're adaptable; one of the worst attributes of human beings is they are adaptable."
原文地址：http://ozem.pw/archives/690