一、傅立叶变换公式傅立叶变换公式如下：
傅立叶变换也可以是不同的形式：
傅里叶变换的本质是内积，三角函数是完全正交函数的集合，不同频率的三角函数之间的内积为0，只有当频率相等的三角函数建立内积时才发现不是0。
二、从以下公式说明傅立叶变换的意义，因为傅立叶变换的本质是内积，所以f(t )和ejwt )在求内积时，f(t )中只有频率的分量为内积的结果，剩下的分量的内积为0。 可以理解为f(t )在ejwt上的投影。 积分值是时间从负无限到正无限的积分。 就是把信号在每个时间上的成分叠加起来。 可以理解为f ) t )在ejwt上的投影重叠。 叠加的结果，频率成为的成分，形成光谱。
傅立叶逆变换的公式如下。
三.以下，从公式的分析来看，傅立叶逆变换是傅立叶逆变换的逆过程。 f()和ejwt求内积时，f()只通过时刻t分量的内积得到结果，其余时间分量的内积结果为0。 同样，积分值是频率从负到正的无限积分。 也就是说，通过叠加各信号频率的时刻t的分量而获得的结果是f ) t
如果对一个信号进行傅立叶变换，然后直接进行逆变换，就没有意义了。 在傅立叶变换和傅立叶逆变换之间有一个过滤过程。 过滤去除不需要的频率成分，进行逆变换，可以得到期望的信号。 例如，当在信号中混入噪声信号时，可以通过利用滤波器去除噪声信号的频率并进行傅立叶逆变换而得到无噪声的信号。
优点:频率对准好，信号频率分辨率好，可以清楚地得到信号中包含的频率分量，即频谱。
缺点:频谱是从时间负无限到正无限的叠加，所以知道某些频率，无法判断。 那个频率的时间定位。 无法判断某个时间段的频率成分。
例子：
平静的信号：
傅立叶变换的结果：
信号是稳定信号，任何地方的频率都相等，所以看不到傅立叶变换的缺点。
瞬态信号时：信号为余弦信号，仍有4个频率分量
傅立叶变换的结果：
从上图可以看出，知道某个频率，不能判断。 那个频率的时间定位。 无法判断某个时间段的频率成分。
四是短时傅立叶变换傅立叶变换存在严重缺点，不能实现时频联合分析。 傅立叶变换从负无限计算为正无限。 这在实际使用中，与即时性分析存在很大矛盾。 基于这一缺点，提出了短时傅立叶变换。 之后的时间-频率分析也是以短时傅立叶变换为基础提出的。
为了弥补傅立叶变换的缺点，给信号加窗函数，计算信号加窗后加窗后函数的傅立叶变换，得到加窗后时间附近很短时间内的局部谱。 窗函数可以根据时间的位置变化在整个时间轴上平移移动，利用窗函数可以得到任意位置附近的时间段频谱，实现了时间定位。
短时傅立叶变换的公式如下。
时域中用窗函数截除信号，对截除的局部信号进行傅立叶变换。 即，在时刻t对该段的信号进行傅立叶变换，使时刻t不断移动。 也就是说，不断移动窗函数的中心位置，可以得到不同时间的傅立叶变换，得到时-频分析。
短时傅立叶变换的本质与傅立叶变换一样是内积的，但用g(-t ) EJx代替EJx实现了局部信号的频谱分析。
短时傅立叶变换的另一种形式：
这个公式示出了在时域中将窗函数g(t-)乘以x()，并且在频域中将窗g (v -)乘以x( )。
优点:通过在傅立叶变换的基础上增加窗函数，实现了时频分析。
缺点:短时傅立叶变换使用固定的窗函数，窗函数一旦确定，其形状不变，短时傅立叶变换的分辨率也确定。 要更改分辨率，必须重新选择窗函数。 短时傅立叶变换也可以用于分析段稳定信号或近似稳定信号，但对于非稳定信号，在信号变化剧烈的情况下，对窗函数要求高的时间分辨率； 在波形变化比较缓慢的时刻，主要是低频信号，对窗函数要求较高的频率分辨率。 短时傅立叶变换不能兼顾频率和时间分辨率的需要。 不可测量原理指示，被测量信号必须在信号分析中取舍时间或频率精度，因为不能在时间和频率两个空间中同时以任何精度来近似被测量信号。 短时傅立叶变换受不可测量原理的限制，不能同时优化短时傅立叶变换窗函数的时间和频率分辨率。 实际使用时，请根据情况选择适当的窗函数。
例子：
原始信号：信号是余弦信号，有四个频率分量。
如果窗函数选择如下：
短时间傅立叶变换如下
从上图可知，时域分辨率比较好，但在频率上出现一定宽度的带宽，即频率分辨率差
如果按如下方式选择窗函数：
短时间傅立叶变换如下
由上图可见，频率分辨率比较好，但时域分辨率差，与傅立叶变换有点接近。 从上图可以看出短时傅立叶变换的缺点。
来源：路客巴巴《傅里叶变换本质及其公式解析》，cuyongo69615分享