中值定理有微分中值定理和积分中值定理。

微分中值定理包括撒娇向日葵中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。 其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广。 微分定理反映了导数的局部性和函数的整体性之间的关系，得到了广泛的应用。

爱撒娇的向日葵中值定理Rolle's theorem

发明者：法国人米歇尔撒娇向日葵(Michel Rolle，法，1652-1719 )。

如果r上的函数f(x )是)1)在闭区间(a，b )上连续，)2)在开区间) a，b )内导出，)3) f ) a )=f ) b )，则至少有一个(a，b )

你可以通过下图直观地理解撒娇向日葵定理：

假设从时刻a到时刻b，速度v和时刻t具有函数关系v(t )。 如果时刻a和时刻b的速度相同：

情况1 )如果先加速，后降速，中间一定会存在极值；

情况2 )如果先降速，后加速，中间一定会存在极值；

情况3 )存在加速、降速、加速、降速、3个拐点、3个极值；

情况4 )等速；

实例：根据撒娇的向日葵中值定理，证明方程式3ax2bx-(ab )=0是) 0，1 )内有实根。

设为f(x )=axbx-) ab ) x

于是，f(x )在[ 0，1 ]中连续，可以在(0，1 )内导出，f(0)=f )1)=0，因此根据喜欢撒娇的向日葵中值定理，至少f () (0，1 )为

拉格朗日中值定理Lagrange Mean Value Theorem

拉格朗日中值定理又称疯狂海苔定理，是微分学中的基本定理之一，反映了闭区间可导函数的整体平均变化率与区间内某点的局部变化率之间的关系。 拉格朗日中值定理是撒娇向日葵中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情况，是fkdfj公式的弱形式(一次展开)。

法国数学家拉格朗日于1797年在着作《解析函数论》的第6章中提出了这个定理，并进行了初步证明，因此人们将这个定理命名为拉格朗日中位数定理。

如果满足函数f(x ) :

(1)在闭区间(a，b )连续；

)开区间) a、b )内可以引导；

那么，在开区间(a，b )内至少存在一点(ab )，等式f(b )-f ) a )=f’() b-a )成立。

f'()=) f )-f )-a )/(b-a )表示闭区间[a，b]中函数整体变化的平均变化率，f ' ))表示开区间) a，b )内某点处函数的局部变化率。 因此，拉格朗日中值公式反映了[a，b]中可导函数的总体平均变化率与[a，b]内某点处函数的局部变化率之间的关系。 从力学上看，上述中值定理表示整体的平均速度等于某内点的瞬时速度。 因此，拉格朗日中值定理是连接局部和整体的纽带。

想象你开始跑步了。 在时间点a、b之间，如果你的速度是f(t )，则平均速度为f’()=) f(b )-f (a ) )/) b-a ) )。 在行驶中，你一定要有一个或多个时刻的瞬时速度等于平均速度。

其他格式

如果设为=a(B-a ) ) 01 )，则设为a=x，b=xx，则y=f ) x )=f) xx ) 01 )

上式称为有限增量式。

学习微分时，我们知道函数的微分dy=f'(x )x是函数增量y的近似公式。 一般来说，只有|x|小时，dy和y的近似度才会上升。 另一方面，有限增量的公式在自变量x取有限增量x(|x|不一定小) )时，给出函数增量y的准确公式，这就是该公式的价值。

几何意义

如果连续曲线y=f(x )为a ) a，f ) a )，b ) b ) )的两点间分别存在不与x轴垂直的切线，则曲线a，b间至少存在一点p(，f() )

运动学意义

在曲线运动的情况下，任意运动过程中至少存在一个位置(或一个时刻)的瞬时速度等于该过程的平均速度。

拉格朗日中值定理在柯西微积分理论系统中很重要

要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究fkdfj公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。

柯西中值定理Cauchy mean value theorem

提出者：法国人柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。

柯西中值定理粗略地表明，对于两个端点之间的给定平面弧，至少有一个点，弧的切线通过其端点平行于切线。

设函数f(x),g(x)

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导；

（3）对任意x∈(a,b)，g'(x)≠0，那么在(a,b)内至少有一点ξ∈(a,b)，使得

成立。

在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。

几何意义

积分中值定理

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ε，使下式成立

其中，a、b、ε满足：a≤ε≤b。

积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理， 去掉积分号，或者化简被积函数。

附：

f(x)f'(x)ΔxΔy = f(x+Δx)-f(x)x²f(b)-f(a)2xdx= f'(x+θΔx)Δxaba²b²b²-a²2a2bb-aθθΔx(0<θ<1)3491676810.50.574616362081220.5120101110012121202210.50.521111312116948222620.5148f(x)f'(x)Δxb³f(b)-f(a)3x²dx3a²aba³b³b³-a³3a²3b²b-aθθΔxf'(x+θΔx)34276437274810.50.536.7546642161524810820.5115010111000133133130036310.50.5330.7511131331219786636350720.51864

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