高斯积分在科学、统计学和概率论中很常见。 事实上，如果你熟悉统计学中的正态分布(也称为贝尔曲线)，你可能知道什么是高斯函数。

高斯积分本质上是高斯函数下的面积。 本论文将讨论高斯函数下的总面积是多少。 这意味着计算无限域的积分，并将其结果应用于高斯函数的各种变化。

最简单的高斯积分形式是：

公式1 :高斯积分结果

参数a用于控制高斯分布的“窄幅”程度。 高斯分布的中心为x=0，具有a越小高斯分布越“宽”，a越大高斯分布越“窄”的特性。 从这个结果来看，令人惊讶的是，总面积如下。

因为高斯分布的宽度会影响面积，所以可能与a成反比，但为什么会出现在这里呢？ 为了弄清楚这个问题，我们从二维的角度处理这个问题。

一个技巧：转换为极坐标

也可以用各种变量表示，如y。

如果将两者相乘，将得到以下结果：

在这里可以进行简单的处理。 首先，请注意，根据福比尼积分定理(fubini’stheoremofintegration )，当某二重积分有常数(或与变量无关)极限时，可以将两个积分的积归纳为一个二重积分。 即，如下所示。

在此示例中：

让我们看看指数一项。 我注意到有平方和。 根据胡克定理，他们可以把另一个变量写如下

这里r是三角形的斜边。 在极坐标中，r是圆的半径。 同样，可以定义相对于brdwgX轴的角度。 这两个新变量可以用来转换积分。 但是，这还不够。 的极限一定会变。 在笛卡尔坐标系中，积分的定义域是具有无限大长度的矩形边(因为用x和y从负的无限积分到正的无限)，在极坐标中会怎么样？

那么，一定也有无限的域。 但是，也有一些限制。 半径r根据定义限制在[0，]内。 因为半径不能为负。 其次，角度限制为[ 0，2]。 因此，极坐标上的积分不同。

另外，从正交变换为极坐标时，请注意无限小的增量dx和dy也将发生变化。 事实上，两者的乘积是“无限小的矩形区域”，所以如果将该矩形转换为极坐标，将得到以下结果：

其中，d为无限小的弧长，dr为半径方向的无限小变化。 如果把这些都组合起来，我们的重点就会发生变化

这里，我们可以用换元法求解内积分：

得到：

这就是I^2的值，所以现在为了得到我们想要的积分值，我们只需取两边的平方根，从而得到所需的结果：

扩展

我们还可以用不同的形式来研究高斯积分。例如，考虑：

这稍微有点复杂，但我们可以这样来求解：

也可以把它写成：

其中：

得到：

因此：

这里，我们可以做一个替换：

这样：

利用公式1的结果：

因此，结果是：

方程2：形式为ax^2+bx的高斯积分

有趣的是，同样的过程也可以用于得到下面的结果：

方程3：形式为ax^2+bx+c的高斯积分

如前所述，高斯积分有多种用途。其中最常见的是在统计学中的正态分布中，实际上一个连续随机变量X的点的分布是高斯分布：X的大多数随机样本将落在均值E[X]附近，方差Var[X]决定高斯分布的宽度或狭窄程度。因此，Var[X]越大，点的分布越广。