今天是高等数学的第十四篇文章。 让我们来看看定积分的兑换法和分部积分法。
以前介绍过用不定积分的内容求解兑换法和支部积分法这种不定积分的方法，今天我们将探索把这两种方法应用于定积分。 我有应该注意的事情。 不定积分和定积分只有一个字的差，但是在数学上是完全不同的概念。 不定积分求解的是函数的原始函数，而定积分则是求解的曲形面积，即具体值。
以Python为例，不定积分就像高阶函数，通过传递函数得到函数。 另一方面，定积分是计算的函数，我们通过函数来得到值。 因为有勤奋的汽车公式，我们在解定积分时也需要解原函数，但这只是计算过程相似，不是其定义。 所以请不要将两者混淆。
换元法
在写换元法公式之前，把它的作用区间写清楚。 这是数学惯例，我们写公式、定理和公式，需要注明适用范围。 假设函数f(x )在区间[a，b]中是连续的。
满足函数x=(t ) :
()=a，()=b) t )在区间[，]或[，]中具有连续导数，如果值域为[a，b]，则为：
虽然这个公式的成立非常明显，但为了严密，我们还是再来证明一次。
等式左边是简单而常见的积分函数。 假设区间[a，b]中的f(x )的原始函数为f ) x )，则方程式的左边根据勤奋的汽车公式，可以得到以下结果：
因此，关注等式右边，等式右边也进行同样的处理，假定=f。
我们就(t )寻求指引，会得到以下结果。
求导后，可知(t )是f[(t ) ]*' ) t的元函数。 所以：
于是证明结束了。 整个证明过程并不难。 困难的是，在处理等式右边时，是如何考虑令(t )=f ) ) t ) )的。 这是一个非常巧妙的要点。 想这个不容易。 如果我从一开始就证明了的话，可能会考虑(t )的原函数。 f )我认为引进x )不太容易。
在理解了改变原来求解定积分的方法之后，一起看例题详细看看吧。 这个例题还是经典的三角换算元：
我们很容易想到x=a sint，那样的话就很容易想到dx=a cost dt。 x=0时，t=0，x=a时，t=/2代入原公式后如下所示。
理解了原理之后，我们也可以反过来使用原公式。 也就是说，在t=(x )的情况下，也同样可以使用原型式。
让我们来看另一个例子：
我们简单地在t=cosx的时候，在dt=-sinx dx，x=0的时候，在t=1，x=/2的时候，在t=0集合。 我们代入原公式，得到以下结果
iaoimg.com/origin/pgc-image/0546530112324cf2b3ef1be46558fcd2?from=pc">分部积分法
不定积分的分部积分法是根据求导公式推导得出的，它在定积分当中同样适用，我们只需要稍作变形就可以推导出来：
我们把上面的式子可以简写成：
来看个例子：
我们令u = x, dv = cosx，那么v = sinx，我们代入就可以得到：
和不定积分一样，分部积分法和换元法可以结合使用，得到更强大的效果。我们来看个例子：
我们令 t=√x，于是 x= t^2，并且当x=0时，t=0，当x=1时，t=1。我们代入可得：
我们使用分部积分法，令u=t, dv = e^t，所以 v = e^t，代入可以得到：
总结
换元法和分部积分法是求解定积分和不定积分的两大最重要的方法，这两个方法说起来容易，理解起来也不难，但是很容易遗忘。尤其是我们长时间不使用的情况下，经常会忘记，而在用的时候又经常会想不起来，典型的书到用时方恨少问题。所以我们经常拿出来复习回顾一下，还是很有必要的。
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