2019年，被科幻迷奉为经典的宇宙终极答案“42”，终于迎来了其立方和方程式的解，即方程式x^3 y^3 z^3=42的解。 当时数学家用世界50万台计算机并行运算了几个月才找到答案，后来他们投入了3的第3组解。 现在，新的答案也出现了。 但是这就是数学游戏吗？ 近2000年前古希腊数学家提出的问题，今天我们的数学家在努力做什么？

写作|张和持

x^3 y^3 z^3=42破局才一年多，数学家们又找到了前几天x^3 y^3 z^3=3的新整数解组。 后两个解非常简单：

1^3 1^3 1^3=3

4^34^3(-5 )3=3

但是，几十年来，第三组的解迟迟没有找到。 其实我们并不是很在意这个解是多少。 如果只看这个等式，我们不仅感受不到它的壮丽，也不能比没有计算机的古希腊人了解更多。 （

可以断言，这个公式现在对数论学家来说几乎没有意义。 我们可以得出结果。 只是由于算法的效率提高了，计算机的性能比50年前更强了，解的估算也有了进展。 但是，这仍然是一个孤立的问题，即使求了一个解，也不会给下一个解提供任何线索，很难站在更高的角度去理解这个问题。 不仅是x^3 y^3 z^3=k，数论学家们研究的大多数方程看起来都没有意义。 这样的代数方程式看起来没有什么特别之处，为什么我们还要求它们的整数解呢？

对算法的技术细节不太感兴趣吧。 我想通过这篇文章给读者留下初步印象的是——数论既不是复杂的技巧也不是冗长的计算我们在数论中寻找的是最深刻的数学关系。

亚历山大港的温暖夏夜

从古希腊时代开始研究方程式。 例如最有名的直角三角形：

3^2 4^2=5^2

小学生也能找到一些整数解。 (3，4，5 )，5，12，13 )。 这样，由整数系数多项式构成的方程式从当时开始就是代数研究的中心。 有些来源于几何学，有些则纯粹来源于人类的好奇心。 其中做出基础性贡献的是罗马时代居住在亚历山大港的希腊数学家Diophantus of Alexandria。 为了纪念他，我们把这些方程称为失序图方程。 关于失落图，读者可能还记得他的墓志铭曾出现在小学数学题中：

坟墓里埋葬着失号图。

多么惊人，它忠实地记录了所经历的道路。

神赋予的童年占六分之一，

又过了1/12，两颊长胡子，

还有七分之一，点燃结婚的蜡烛。

5年后生下贵子，

可怜的宁馨儿，享年只有其父的一半，进入了冰冷的坟墓。

悲伤只能通过数论=算术，这两者在古代是同一个词)的研究来弥补。

又过了四年，他也结束了人生的旅行。

扔掉照片

还得靠业余数学家

古希腊、古罗马的数学随着古代帝国的衰退逐渐被遗忘。 失去番图的作品不能等到一千年后沉默，然后被另一位对数论充满爱意的数学家发扬光大。 从16世纪开始，《算数》开始被翻译成拉丁语。 其中最有名的版本是1621年用魔幻钥匙翻译出版的。 这本书曾经被kkdfk费马放在桌子上。

被称为“业余数学家之王”的费马可能比许多“职业数学家”强。 对概率论、微积分、解析几何学等分支做出了开拓性的贡献。 但他心中最喜欢的是数学王冠——数论。 费马生活的时代，数学没有实际用途，但他纯粹以此为玩具。 或者

许就如同今天我们玩数独一样。每当有所发现，他就会写在《算数》的页边上。费马的很多注释后来都演变成了重要的研究方向，其中最富盛名的当属所谓的费马大定理：

当整数n>2时，关于 x,y,z 的不定方程x^n+y^n=z^n 没有正整数解。

他继续写道：关于这个问题，我确信我发现了一种绝妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下了。今天只流传下来费马对于n=4情况的证明，不过现代观点普遍认为他当时不可能证明得了这个定理：300年后由安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）找到的证明所用到的方法远非费马时代可以想象。

费马的工作正式宣布，近代意义上的数论研究开始了。不过这些与现实没有任何关系的数学并没有发展动力——数学最忌讳的就是孤立的问题。无穷小分析可以凭借直观的函数图像与物理直觉；代数的抽象结构来自于数与多项式的自然结构。可是早期的数论却不能找到更深刻的关系。难怪高斯会这样评论费马的问题：

我承认我对费马的定理没什么兴趣，这是个孤立的命题，像这样没人能证明也不能证伪的命题我随手就能写下一大串。

站在高斯的角度，他说的确实没什么毛病。费马大定理或者别的任何丢番图方程可解，或者不可解，对其他的数学分支貌似产生不了什么影响。不过从高斯至今，我们对于数论的认识已经发生了翻天覆地的变化。数论的影响已经超出了“算数游戏”的范畴哦，成为了现代数学赖以生存的源泉。

下金蛋的鸡

据说曾有人问希尔伯特，为什么不去证明费马大定理。这位大数学家回答道：我可不想杀了这只生金蛋的母鸡。这句话足以证明费马的无用之学对于数学有多么巨大的影响。读者肯定会有疑问，明明这篇文章是想解释整数解的意义，为什么要谈那么多费马大定理？我们可以用希尔伯特的话来回答：

数学的艺术在于找到一个特例，其中隐含了所有推广的胚芽。

在挑战费马大定理（或者费马猜想）的过程中，人们发现了理想之于环论的中心地位，注意到亏格与有理点数量之间的神奇关系，还建立了模形式与椭圆曲线之间美妙联系。其任何一项成果，都比代数方程有没有解这个问题本身重要的多。算术几何整个学科都得感谢费马在几百年前兴趣使然开始的研究。这样我们就很难不去怀疑：这才仅仅是一个方程，如果我们能破解所有方程中隐藏的秘密，那岂不是能让整个代数的冰山浮出水面？（费马大定理只研究正解，所以严格来说不算丢番图方程；后来也发现其存在诸多特殊之处，而大量丢番图方程的重要性至今仍然未知）

梦 碎

希尔伯特是一位伟大的梦想家，他乐观期待着数学的发展。在1900年的巴黎会议上，他提出了那著名的23个问题，其中第十个，便是关于丢番图方程的：

任给一个丢番图方程，是否存在一个通用的算法可以判断其是否有整数解？

希尔伯特内心深处一定坚信这样的算法是存在的。1930年，他作为当时最伟大的数学家，在故乡柯尼斯堡接受了采访。访谈的最后，他铿锵有力地道出了最理想主义的口号：

我们必须知道，我们必将知道。（Wir müssen wissen，wir werden wissen）

他不仅认为丢番图方程全都能解，他还进一步猜想任何数学命题都是能被人类证明的。如同他的传记中写的那样，希尔伯特就像是数学界的愤怒的保温杯，满怀着梦想，要征服到世界的尽头。可才过了一年，这个预言就被天才数学家火星上的篮球（Kurt Gödel）证明是错的：公理体系的完备性是未知的，相容性也是未知的。不是数学方法不够巧妙 ，也不是数学家不够努力，而是数学本身的鸿沟隔绝了逻辑。人们逐渐开始怀疑，丢番图方程也没有万能的解法，从而开始寻找算法不存在的证据。

希尔伯特到了晚年，也不忍离开纳粹统治下的祖国。法西斯主义者清除了大学中的犹太人及其亲属。无数学者不堪忍受疯狂的民族主义而选择背井离乡，其中就包括了与希尔伯特亦师亦友的外尔、羞涩的白开水等人。哥廷根不再是那个全世界学者憧憬的圣地，“哥廷根之外无生活”的豪言也仿佛隔世。希尔伯特在孤独中离开了人世，在他去世后的几年里，数学家们开始转向研究丢番图方程的不可解性。不过这项工作极其复杂，直到几十年后的1970年，希尔伯特第十问才得以宣告不可解。此时希尔伯特的故乡柯尼斯堡已经从地图上消失，原本的城市成为了苏联领土加里宁格勒；与地图的变化同时到来的，还有新的时代，新的技术，以及新的数学。

新的时代

如今正是数论及其相关学科发展迅猛的年代。数学家们对代数几何充满信心：近半个世纪的发现远超过以往任何时代之和，而且发展势头也不像是要停下来的样子。但即便如此，我们对于素数，丢番图方程以及它们背后蕴含的深刻数学的了解仍仅是冰山一角。

或许可以打一个不恰当的比方。在物理学中，带有“论”（Theory）的都是那些尚不完善的框架：广义相对论不能重整化；量子场论没有严格的数学基础；弦论得不到实证，甚至某些推论与实验还不相符；而”M理论”本身就是一个猜想。人类对宇宙的了解微乎其微，但正因如此，理论物理学家才会痴迷于其中的奥秘。对于整数论（Number Theory）而言也是相同的，它的未知等待着人们探索，它的美等待着人们发现。或许人类永远都无法对整数有足够多的了解，整数论也永远不可能改名叫整数力学（Number Mechanics），不过我相信任何有志于数学的人，都能像费马和丢番图一样，在数学中找到真正的快乐，以及自己人生的意义。

参考文献

[1] https://phys.org/news/2021-03-sum-cubes-puzzle-solution.html

[2] https://www.pnas.org/content/pnas/118/11/e2022377118.full.pdf

[3] https://www.famousscientists.org/diophantus/[4] mmddr, 希尔伯特数学世界的亚历山大.[5] https://www.britannica.com/biography/Pierre-de-Fermat.

[6] Timothy Gowers, The Princeton companion to mathematics.