科学的历史故事
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说到文艺复兴时期著名的数学家大卫，恐怕中学生对他的名字并不陌生。因为中学数学中常用的一元二次方程的“寻根公式”叫做“zrdjw”。
推断zrdjw似乎并不难。事实上，一个学过初学者代数的中学生就能完成这个推导。——对于任意一个ax2 bx c=0的方程，只要把方程的左边变成(x-x1)(x-x2)=0的形式，x1和x2就是两个根，也就是几个步骤的四个运算。
但是，为什么这么简单的演绎要等到16世纪才由大卫完成呢？古代数学家不会解方程吗？
古代数学家真的解不出这个大卫方程。大卫被称为现代代数之父。他最大的贡献不是给出方程根的通式，而是给出方程本身的通式。这一创造标志着现代数学对古代数学的最大颠覆。
在“代数之父”华拉奇米，他的代数作品中充满了文字和图形，没有用符号来表达，甚至连他自己介绍的阿拉伯数字也很少使用。因此，大卫的工作也是基于缩写的普遍应用。这部作品一方面是基于古希腊数学家丢番图的重新解读，另一方面也有赖于中世纪以来欧洲商人传统下各种运算符号的发明和普及。作为一名科学家，大卫不仅仅像商人一样把缩写当作一种方便的手段。他追求的科学目标：普遍性。于是，他进一步发展了符号的应用，完成了最后一步，——，用符号来表示已知的数字。
用符号表示未知量的做法由来已久，但用符号指代已知量的做法更为曲折。
广义而言，早在xsdfy中，ab就被用来表示从A点到B点的线段，在中世纪数学家中，B有时被用来更简单地表示线段AB。但是线段A和系数A不是一回事。a用来表示一条线段，因为前者是一个特定的对象，或者是一个具有一定长度的量，而后者是一个没有单位的纯“数”。所以在这里我们遇到了吠陀工作的另一个象征意义：混淆了自古希腊以来数学家们就坚持要区分清楚的数字和数量，并消除了数量相似的原则。
一个数可以加另一个数，这是一个基本的算术运算，但是一个量不能总是加另一个量。例如，如果我们用A表示一条线段，用B表示一个区域，那么a b是什么意思？一条线段怎么能凑成一个面积？也就是说，只有相同的量才能在特定的语境中相加，而这个量的运算中的相似性原理，至今仍被Wada本人固执地保留着。在X3xax=B的方程中，Wada称A为“脸”，称B为“身体”。但事实上，当我们用A、B、C这样的中性字母来表达时，就直接被称为“A”或“B”，没有人在乎它们实际上是“A面”还是“A面”。最后，在笛卡尔的地方，通过引入“第一单元”，同质性原则被完全打破，这是另一个故事。
大卫符号代数建立的意义不仅在于改变了人们解方程的方法，更重要的是改变了人们对数学与现实关系的认识。人们自古以来就善于使用各种抽象符号，文字本身就是一种抽象符号。然而，在古代，抽象符号的意义总是附属于抽象对象本身。当人们计算抽象符号时，他们总是考虑抽象对象之间的关系。符号只是一个方便的缩写代码。当人们进行数学运算时，他们实际上是通过符号来解决一些真实事物之间的关系。因此，人们总是对符号背后的东西非常谨慎。
比如负数、无理数、虚数等等，作为抽象的符号，被抽象出来的真实的东西是什么？这些问题直到20世纪才得到充分的讨论。然而，从符号代数的角度来看，符号不再总是用来指代特定的量，而是可以指代一个“一般数”。数字本身没有具体性，而是完全中性的，没有单位和维度。因此，人们可以抛开一个方程的实际意义是什么的问题，而专注于微积分符号之间的运算规则。
只有这样，我们才能理解为什么一个现代小学生能轻松理解“负数”的概念，而古代最伟大的数学家却不能。这是因为思维方向完全不同。它们的出发点是真实的事物及其关系，而我们的出发点是符号及其运行规律。
从某种意义上说，大卫标志着数学独立于古代自然哲学传统，成为一个不言自明的符号系统。像传统的碎片力学一样，现代数学用合法性(规律性)取代了对理性的诉求。
(作者系清华大学科技史系助理教授)
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