接下来，我们构造一个参照系，然后借助参照系研究什么样的运动可能是刚体运动。为了讨论方便，我们先介绍现代代数中一个非常重要的运算，那就是矩阵运算。矩阵运算本质上是一种特殊的乘法运算和符号表示。我们会看到用这种符号表示来讨论几何问题是非常方便的。
矩阵在二维空间中操作。大写字母A、B、C表示矩阵，小写字母A、B、C表示矩阵中的元素。大写字母X、Y、Z等。用于表示点，即二维向量，小写字母x、y、z用于表示向量中的元素。如公式(2)所示
称一个矩阵为单位矩阵，如果这个矩阵的对角元素都是1，即a11=a22=1；非对角元素全部为0，即a12=a21=0。我们用I作单位矩阵。
矩阵加法A B定义为矩阵对应元素的加法，所以加法的和仍然是矩阵。定义矩阵乘法AB的行乘以B列的对应元素再相加，如公式(3)所示。
定义容易验证，矩阵乘法不满足交换律，即ABBA。
接下来，我们定义矩阵的逆运算。对于矩阵A，如果有一个矩阵，它与A的乘积是单位矩阵，这个矩阵叫做A的逆矩阵，用A-1表示，即A-1A=AA-1=I .特别是，如果一个矩阵A满足A'=A-1，则叫做正交矩阵，即A是正交矩阵当且仅当AA'=A' a=I .对于给定的矩阵A， 将数a11a22-a12a21定义为矩阵A的行列式，当且仅当A的行列式为1或-1时，很容易验证矩阵A是正交矩阵。