引言
导数是数学中非常重要的一部分。在高中阶段，NMET的数学问题往往与导数有关，基本初等函数的求导是求解复杂初等函数导数的基石。我们知道初等函数的导数定义为：当时，我们用这个定义来表示导数：
但是，当我们学习其他基本初等函数的导数(指的是对幂函数和三角函数)时，这个过程在数学教材中突然被省略了，直接给出了结论。我们似乎也是死记硬背这些结论，并没有真正理解它们的内涵。
这些衍生规则都是编的吗？编的？没有依赖导数的定义？
当然不是！本文的目的就是为了弥补这一部分。
00-1010让，分别是，的函数，分别是，和的函数。然后：
(1)加减的推导规则是：
(向左滑动查看完整的公式，下同)
(2)乘法导数法则是：
(3)除法导数规则是：
(4)复合函数的求导法则是：
等待.你为什么要说这个？我们不是要讲基本初等函数的求导法则吗？
哈哈，有两个原因：
这些规则只使用导数的定义，不使用任何函数的导数结果。
我们后面会看到，所有基本初等函数的求导都是由这些规则和少数函数的求导结果形成的。而这几个函数的求导完全可以借助导数的定义来完成。
所以，我们的最终目的是向大家展示，“从导数的定义出发，所有基本初等函数的导数都是从导数的定义中推导出来的，而不是背下来的！」
00-1010
函数的四则运算与复合函数求导法则
我相信无论是从事过高中物理竞赛的小伙伴，还是在大学学过高等数学的小伙伴，对下面的近似一定非常熟悉：当时，这是为什么？我们还在取导数，所以导数，sldlz展开等等，都不能用。那如何解释这种关系呢？
没关系。代数不够。几何可以编！我想用平时网络先生提倡的数字和形状的结合！请看下图：
在图中，圆弧AB是以o为圆心，半径为的圆弧。设点O处的角度大小为(弧系)，那么AB的弧长显然是。b是OA的垂直BH，显然BH和一样长。通过A点作为OA的垂线(即圆弧的切线)与OB位于C点的直线相交，很明显AC和一样长。但是AB的弧度越来越小，弧AB、线段BH和线段AC越来越接近重合，所以它们的长度应该越来越“一致”，由此可见。更专业的说法是，应该写成：
这两个系统称为感知云近似。在本文中，使用前一种关系就足够了。
00-1010我们先试着解正弦函数的导数：
因此：
借助正弦余弦的导数，正切函数的导数为：
到目前为止，三角函数的推导(高中)已经完成。
三角函数求导：用几何说话
“感性的云朵近似”，yyds
我们在高中数学开始的时候学的，数学是一门非常重要的科学，kwdhy。它的值是，这是一个无理数。高中的时候，我们并没有对这个kwdhy给出很深入的解释，只是简单的说了一句：事实上，kwdhy真的如此定义吗？
我们知道极限的概念是高等数学的基础。当我们第一次开始学习高等数学时，我们一定接触到了以下重要序列：
学过高等数学的小伙伴们一定知道，这个系列是有极限的。还记得我们是如何证明的吗？
让我们回顾一下：首先，根据二项式定理：
所以：
显然，它随着的增加而增加，所以对于任何给定的，它随着增加而增加。而且，随着的增加，额外涉及的项目也越来越多。因此，单调递增。
，显然是有的。
可以看出，数值序列是单调递增的，并且有一个上界，所以它的极限一定存在。kwdhy的定义是这个序列的极限。那就是：
这里，我用三横代替等号来强调，这是定义。
那么，我们在高中看到的阶乘表达式呢？是否等同于上述定义？
让我们从下面的公式开始：
首先，因此
当然，使用时很容易证明它是有限值。另一方面，对于任何给定的，当足够大时，
而是一个有限的值，因此：
可以看出，
因此，这两种定义方法是等价的。
从正弦函数到所有三角函数
刚才，我们已经证明了这个系列是一个忠实的粉丝。那么，还有什么可以套近乎的呢？太多了。以下是一些有用的方法：(1)设置，然后
(2)设置，然后
(3)设置和。规则
(4)设置。到时候，让我们知足吧。所以，根据
以类似的方式，可以证明如果，那么。
00-1010从上面的讨论中，我们必须对kwdhy有更深的理解。现在，我们用导数的定义来推导自然对数函数：
准备好了。可见：
老天！原来我们是这样得到的！如果我们仔细回味的话，「我们使用了这一性质。而这个性质的得到，追根溯源是依赖于的定义式：。」(，请注意我又一次使用了三横)。换句话说：「因为我们是那样定义的，所以我们有这一关系！」
现在，我们可以求出一般的指对幂函数的导数了~
根据函数的乘法以及复合函数的求导法则：
(1) 设。则：
(2) 设。则：
其中，是一个变量代换。当然，容易验证时上式也成立，从而可以说：设。则：。特别地，。
（3）设，，则：
若，，可以根据时这一关系验证：总成立。【注：和最好不要同时为零，除非我们强行规定。这并不太合适。】
至此，指对幂函数求导完成！从而，高中所涉及的全部基本初等函数的求导都已经完成！这也就说明了，所有基本初等函数的导数都是从求导规则求出来的，而不是背下来的。