第八章MATLAB数值积分与微分
8.1数值积分
8.2数值微分
8.1数值积分
8.1.1数值积分的基本原理
求定积分的方法多种多样，如简单的梯形法、传统的篮球(Simpson )法、TMD QC (Newton-cotes )法等是常用的方法。 这些基本思想都是将整个积分区间[a，b]分为n个子区间[xi，xi 1]，I=1，2，…，n。 这里，x1=a，xn 1=b。 这样求定积分问题就分解为求和问题。
8.1.2数值积分的实现方法
1 .循序渐进的传统篮球法
基于变步长的传统篮球法，MATLAB给出四叉函数求定积分。 函数的调用格式如下：
[I，n ]=四个(' fname '，a，b，tol，trace ) )。
这里，fname是被积函数名。 a和b分别是定积分的下限和上限。 tol用于控制积分精度，缺省情况下tol=0.001。 trace控制是否表示积分过程，取0以外表示积分过程，取0则不表示，默认取trace=0。 返回参数I即定积分值，n是被积函数的调用次数。
例8-1求定积分。
(1)建立被积函数文件fesin.m。
函数f=FeS in (x )
f=exp(-0.5*x ).*sin ) xpi/6 )；
)2)调用数值积分函数quad求定积分。
([S，n ]=四进制(FeS in )，0，3 * pi () ) ) ) ) ) ) 652
S=0.9008
n=77
2.tmdqc法
基于tmdqc方法，MATLAB给出quad8函数求定积分。 函数的调用格式如下：
([I，n]=quad8(fname )、a、b、tol、trace ) ) ) ) ) ) )。
其中参数的含义与四元函数类似，但tol的默认值为10-6。 该函数可以更准确地求出定积分的值，而且一般函数调用的步数明显小于quad函数，保证了以更高的效率求出所需的定积分值。
例8-2求定积分。
(1)被积函数文件fx.m。
函数f=FX (x )
f=x.*sin(x ).1cos ) x ).*cos(x ) x )；
)2)调用函数quad8求定积分。
I=quad8(FX )，0，pi ) ) ) ) ) ) )。
I=2.4674
例8-3分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，用相同积分精度比较函数的调用次数。
调用函数quad求定积分：
格式长；
FX=inline('exp )-x )；
[I，n ]=四边形(FX，1，2.5，1e-10 ) ) ) ) ) )。
I=0.28579444254766
n=65
调用函数quad8求定积分：
格式长；
FX=inline('exp )-x )；
[I，n]=quad8(FX，1，2.5，1e-10 ) ) ) )。
I=0.28579444254754
n=33
3 .被积函数由一个表定义
在MATLAB中，对于用表形式定义的函数关系的求积分问题，使用trapz(x，y )函数。 这里，向量x、y定义函数关系y=f(x )。
例8-4用trapz函数计算定积分。
命令如下：
X=1:0.01:2.5；
y=exp(-x； %函数生成关系数据向量
陷阱(x，y ) )。
ans=0.28579682416393
8.1.3双定积分的数值求解
使用MATLAB提供的dblquad函数，可以直接求出上述双重定积分的数值解。 函数的调用格式如下：
I=DBLquad(f、a、b、c、d、tol、trace ) )。
该函数求出f(x，y )在[a，b][c，d]区域的双重定积分。 参数tol，trace的使用方法与函数quad完全相同。
例8-5双重定积分的计算
(1)创建函数文件fxy.m :
功能f=fxy (x，y ) ) )。
全球钥匙；
ki=ki 1； %ki用于计数被积函数的调用次数
f=exp(-x.^2/2).*sin ) x.^2y )；
)2)调用dblquad函数进行求解。
全球钥匙； ki=0；
I=DBLquad('fxy '、- 2、2、- 1、1 ) ) ) )。
ki
I=1.57449318974494
ki=1038
8.2数值微分
8.2.1数值差分和差分商
8.2.2数值微分的实现
MATLAB没有直接提供计算数值导数的函数，只有计算前向差分的函数diff，其调用格式如下：
dx=diff(x ) :计算向量x的前向差分，dx(I ) dx(I )dx(I )，I=1，2，…，n-1。
dx=diff(x，n ) :计算x的n阶前向差分。 例如，diff(X(x，2 )=diff (diff ) ) x )。
dx=diff(a，n，dim ) :计算矩阵a的n阶差分(dim=1时) (默认状态)，按列计算差分； dim=2，逐行计算差分。
例8-6生成基于向量v=[1、2、3、4、5、6]的范数矩阵，对每列进行差分运算。
命令如下：
v=vander(1:6 ) )
计算dv=diff(v ) %v的一次差分
例8-7用不同的方法求出函数f(x )的数值导数，在同一坐标系中制作f ) )的图像。
步骤如下。
f=inline(sqrt ) x.^32*x.^2-x12 ) x 5 ).^ )1/6)5*x 2 ' )；
g=inline (()3*x.^24*x-1 )./sqrt ) x.^32*x.^2-x12 )/2 )1/6./(X5 ) ) ^(5/6) )
x=-3:0.01:3；
p=polyfit(x，f ) x )，5 )； 用%5次多项式p拟合f(x )
DP=polyder(p； 对%拟合多项式p求导数dp
dpx=polyval(DP，x )； 求出%DP的假说点下的函数值
dx=diff(f ) [x，3.01] )/0.01； %直接对f(x )求数值导数
GX=g(x； %求函数f的导数g在拟定点的导数
plot(x，dpx，x，dx，'.'，x，gx，'-'； %绘图