2020年高教社杯全国大学生数学建模竞赛主题
(请先阅读《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》)
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在集成电路基板等电子产品生产中，需要将安装有各种电子部件的印刷电路基板放入回流炉中，通过加热将电子部件自动焊接在电路基板上。 在这个生产过程中，使回流炉的各个部分保持工艺所要求的温度，对产品的质量至关重要。 目前这方面的很多工作都在实验测试中进行控制和调整。 本主题旨在以机制模型进行分析研究。
回流炉内部设有几个小温度区，它们在功能上可分为预热区、恒温区、回流区、冷却区4个大温度区(如图1所示)。 将基板两侧放在传送带上等速放入炉内进行加热焊接。
图1回流炉截面示意图
某回流焊炉内有11个小温区、炉前区域和炉后区域，各小温区长30.5 cm，相邻小温区之间有5 cm间隙，炉前区域和炉后区域长均为25 cm。
回流炉启动后，炉内空气温度短时间稳定，然后回流炉可以进行焊接工作。 炉前区域、炉后区域及小温区间间隙不进行特殊温度控制，其温度与邻温区温度有关，各温区边界附近的温度也可能受邻温区温度的影响。 另外，生产现场的温度保持在25c。
设定各温度区的温度和输送机的过炉速度后，可以测试作为温度传感器的位置上的焊接区中心温度，称为炉温曲线(即焊接区中心温度曲线)。 附件是某个实验炉温曲线的数据，在各温区设定的温度分别为175C (小温区1~5 )、195C (小温区6 )、235C (小温区7 )、255c (小温区8~9 )及25c (小温区10~11 ) 输送机穿炉速度为70 cm/min； 焊接区域的厚度为0.15 mm。 温度传感器在焊接区域中心的温度达到30c时开始工作，电路板进入回流炉开始计时。
在实际生产中，可以通过调节各温区的设定温度和传送带的入炉速度来控制产品的质量。 除上述实验设定温度外，各小温区的设定温度可在10C的范围内调整。 必须调整到小温区1~5的温度一致，小温区8~9的温度一致，小温区10~11的温度为25c。 输送机通过炉速度的调节范围为65~100 cm/min。
在回流焊炉基板生产中，炉温曲线应满足一定要求。 称为工艺极限(见表1 )。
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A
题
炉温曲线
温度上升梯度
0
3
c/s
温降梯度
-3
0
c/s
温度上升中150C~190C的时间
60
120
s
p>温度大于217ºC的时间
40
90
s
峰值温度
240
250
ºC
请你们团队回答下列问题：
问题1 请对焊接区域的温度变化规律建立数学模型。假设传送带过炉速度为78 cm/min，各温区温度的设定值分别为173ºC（小温区1~5）、198ºC（小温区6）、230ºC（小温区7）和257ºC（小温区8~9），请给出焊接区域中心的温度变化情况，列出小温区3、6、7中点及小温区8结束处焊接区域中心的温度，画出相应的炉温曲线，并将每隔0.5 s焊接区域中心的温度存放在提供的result.csv中。
问题2 假设各温区温度的设定值分别为182ºC（小温区1~5）、203ºC（小温区6）、237ºC（小温区7）、254ºC（小温区8~9），请确定允许的最大传送带过炉速度。
问题3 在焊接过程中，焊接区域中心的温度超过217ºC的时间不宜过长，峰值温度也不宜过高。理想的炉温曲线应使超过217ºC到峰值温度所覆盖的面积（图2中阴影部分）最小。请确定在此要求下的最优炉温曲线，以及各温区的设定温度和传送带的过炉速度，并给出相应的面积。
图2 炉温曲线示意图
问题4 在焊接过程中，除满足制程界限外，还希望以峰值温度为中心线的两侧超过217ºC的炉温曲线应尽量对称（参见图2）。请结合问题3，进一步给出最优炉温曲线，以及各温区设定的温度及传送带过炉速度，并给出相应的指标值。