曲线积分和曲面积分(解题方法总结) )。
第十一章解题方法总结
一.曲线积分和曲面积分的计算方法
1 .曲线积分和曲面积分的计算方法总结如下。
(1)利用性质计算曲线积分和曲面积分。
(2)直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分
(3)利用积分计算与路径无关的针对坐标的曲线积分。
(4)利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分。
(5)利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分。
(6)利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分。
2 .在具体计算中，常用于得出以下结论。
)1)关于积分曲线轴对称
其中在右半部分的平面部分。
积分曲线为轴对称时
其中是上半部分的平面部分。
)2)如果空间积分曲线关于平面对称。
)3)如果积分曲面关于面对称
其中是面的上方部分。
如果积分曲面关于面对称
其中是近前的部分。
如果积分曲面关于面对称
其中在面的右边部分。
)4)曲线圆弧时
曲线圆弧(极坐标)时
空间曲线圆弧时
)5)如果有向曲线弧
空间有向曲线弧时
(6)曲面时
这里是曲面在面上的投影区域。
对于曲面
这里是曲面在面上的投影区域。
对于曲面
这里是曲面在面上的投影区域。
)7)如果有向曲面
(上)、下(-) )
这里是在面上的投影区域。
如果有向曲面
(前) )、后(-) )
这里是在面上的投影区域。
如果有向曲面
(右；左) )
这里是在面上的投影区域。
((8)与路径无关)内的任何闭合曲线) )。
(存在)
其中为单连通区域，内有一阶连续偏导数。
)9)格林公式
其中是有界闭区域边界曲线的正方向，上有一阶连续偏导数。
(10 )高斯公式
或者
其中，是空间有界闭区域边界曲面的外侧，上有一阶连续偏导数，是曲面点上法向量的方向余弦。
(11 )斯托克斯公式
其中是曲面的边界曲线，而与方向的一侧(法向量指向)符合右手螺旋定律，在包含它的空间域内具有一阶连续偏导数。
要计算曲线积分或曲面积分：
(1)计算曲线积分的步骤：
1 )判定求出曲线积分的类型(对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分)；
2 )弧长曲线积分一般采用其定积分直接计算；
坐标曲线积分：
判断积分是否与路径无关，如果积分与路径无关，则重新选择特殊的路径积分；
满足或增加辅助线后，判断是否满足绿色公式条件，满足条件时，采用绿色公式计算(扣除增加的辅助线)；
把这个作为定积分直接计算。
对空间曲线上的曲线进行积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件，满足条件时采用斯托克斯公式计算； 不满足时，用定积分直接计算。
)2)计算曲面积分的步骤：
1 )判定求出曲线积分的类型(相对于面积的曲面积分或相对于坐标的曲面积分)；
2 )面积的曲面积分一般采用二重积分直接计算；
坐标的曲面积分：
判断是否满足辅助面，或添加后是否满足高斯公式条件，满足条件时采用高斯公式计算(减去添加的辅助面)。
将其投影到对应的坐标面上，做成二重积分直接计算。
例1计算曲线积分。 这里取逆时针方向。
解开
由于积分曲线关于轴对称，被积函数对都是偶函数
所以呢
“方法技巧”坐标的曲线积分对称性与弧长的曲线积分对称性不同，应牢记后再使用。 实际上，本题也可以应用绿色公式计算。
例2计算曲面积分。 这里是球面。
解开
因积分曲面的对称性和被积函数的奇偶性而闻名
它也因轮转对称性而闻名
所以呢
曲面积分相对于《方法论》面积的对称性与曲面积分相对于坐标的对称性不同，容易理解。如果是碰到积分曲面而对称的曲面，在解决问题时请考虑对称性。
例3计算曲面积分。 这里是球面。
解开
《方法技巧》积分曲面是关于对称的，可积函数是奇函数
例4计算圆周的逆时针方向即曲线积分。
解法1直接计算.用参数方程形式表示积分曲线
代入被积函数得到
解法2利用格林公式
其中，已故
《方法技巧》运用本题解法一定积分的积分公式：
解法2中，必须将积分曲线代入被积函数的分母，才能应用格林公式。 否则，不满足内有一阶连续偏导数的条件。
例5计算曲线积分。 在此，沿着自由点
到点的曲线圆弧。
很难直接计算。
因为，
因此，在不包含原点的单连通区域中，积分不依赖于路径。
从圆周上的点开始取圆弧段而不是原始圆弧段。
将其参数方程代入、被积函数得到
《方法技巧》正题的关键是选择积分弧段，既要保证简单，又要保证不通过坐标原点。
例6计算曲