剩下的都是精华。 留数理论的重要应用之一是计算实函数的积分。 首先从复函数孤立奇点的分类开始：
定义：
是一个完整的亚纯函数。 有半径时
有时，有时。 此时，称为复函数的孤立奇点。 现在，假设中展开点的级数如下：
请看孤立奇点的定义：
说是时候可以去奇点了。
时，称为阶极。
既不是奇点也不是极点时，称为的本质奇点。 关于这个定义，可以去奇点意味着可以在中找到完整的亚纯函数，如下所示
而且那里有定义。 这实际上是的级数。 级数不包含主要部分。 阶数极意味着可以在上面找到完整的函数，使得：级数包括主要部分的有限项(包括一些项用于表示)。 不存在。 即级数包含主部分的无限项。
示例：
是复函数的奇点。
你会发现这里有定义。 的幂级数展开式不包含负幂项。 也就是说不包含级数的主要部分。
是复函数的一阶极点。
也就是说，展开式只包含一项负幂项，即包含有限项(一项)的级数的主要部分，所以是的一阶极点。
是复函数的本质奇点。
包含级数主要部分的无穷项。 留数
留数是什么？ 剩下的数量就是剩下的数量。 也可以取为剩下的数。 到底留下了多少数字呢？ 首先，让我们考察一下复函数
在点的段数：
对该等式两侧进行积分后，得到以下结果：
因为是啊
的积分只有那时才有值，所以上面的一系列部分积分最终如下。
也就是说
被留下了。 这是留数。 也就是说，留数是级数的负平方系数。 很明显，对于任何完全纯函数和只具有奇点的复函数来说，都没有剩下数。 (在这两种情况下
的级数不含负幂项)。 这里主要讨论应该如何计算极的留数。 极点留数的计算分为以下三种情况。
的简单极，即一阶极，可以用完全纯函数表示：
且在的邻域中是完全纯的，并且是简单的零点(一次零点)，则：
的阶数极点时，可以用完全亚纯函数表示：
证明：
这个状况是里面的时候的状况，稍后会证明。 那么，它是完全纯粹可展开的，并且。 所以，完全是纯粹的，可以展开的。 首先，使用以下内容： 我们寻求定义的指导是、对某件事：
也就是说成立，所以成立。 关于这个定理，我想说明一个。 如果在第二种情况下显现出来的话
如果是初级侧，也可以计算留数作为第一种情况。 例如：
也可以用第一种类型计算
也可以用第二种类型计算奇点处的剩余数量。 如果用第一种类型计算剩余数量，那就是
对于的两个不相交的圆域来说，是各自的两个孤立奇点，且是两个简单极点。 因此，利用上面定理中的第一条，可以：
直接利用第二条结论的：
留数定理及其在实积分中的应用
决定数量
理：设
是一个区域，且 是全纯的，且 是一条封闭分段的 路径，且在 中是魔幻的朋友的，也就是说在 中仅含有至多 个奇点 .则有：
其中
为卷绕数，若 为 曲线，则 。证明：
我们仅考虑封闭路径 中的奇点，对于封闭路径以外的奇点，该封闭路径对其的卷绕数为0。 我们可以将该封闭路径分解为 个封闭子路径 。对于每一个闭合子路径 都仅包含具有相同卷绕数 的奇点。 对于每一个闭合子路径 都同伦于一个 次穿过的简单封闭分段 路径 ，从而有下列积分： 利用 积分定理：对于每一个沿简单封闭的路径 积分都可以分解为包含在 内的一个包含奇点的圆上的积分。从而有：之后我们将 在 处展成 级数：
介绍完了留数定理，我们来看看如何利用留数定理来计算实积分。使用留数定理计算实积分一共分为四种类型，我们一种一种来说：
定理：
设
是有理函数且不具有实奇点，且多项式 的阶数满足： ，则有：
证明：
由于 则对于足够大的 ，我们可以有如下估值：所以由比较审敛法可知广义积分收敛。我们现在选取如下积分路径：
圆心在原点的半径为 的上半圆，路径 是在实轴上的直径，从左到右， 是从右到左的上班圆周。
我们假设这个半圆的半径充分大，以至于能够包含这个有理函数 的所有虚部大于零的孤立奇点（即所有上半平面的奇点）。从而，对 的内部由留数定理可以有：
我们将上等式右侧的积分分为上半复平面和实轴上的积分：
对于 上的积分我们利用之前的估值可以得到以下不等式：
综上所述：
例：计算反常积分：
解：复变函数
具有六个一阶极点分别是：
其中虚部大于零的极点有：
.且 满足 。且根据 的形式，我们选择球极点的留数定理中的第二条从而有：
由定理得：
定理：
设
是一个区域，且 是全纯的，且 . 的有限多的 孤立奇点都分布在上半平面 ,且 ,则有：
其中
是 主值。证明：
我们选择与上面的定理中一样的积分路径，从而有如下估值：其中
为了进行估值，我们使用以下关系：
从而有：
则：
例：计算广义积分：
解：根据比较审敛法我们知道该反常积分收敛。从而它是下列复积分的实部：
由于
，从而由上定理有：
也就是：
定理：
设
是变量 的有理函数，且 在单位圆周 上没有奇点，则有：
证明：
上面定理中的右边我们可以利用留数定理进行改写：例：计算积分：
解：
首先，
在单位圆上没有奇点，从而定义：
的极点是： ,且只有 在单位圆内，则 在 处的留数为：
从而由以上定理有：
定理：
设
是一个有理函数，且在区间 上没有极点。且 且对于 有：
选择
的主值支：
证明：
对于这个定理的证明我们找到以下封闭路径 的围道积分： 从而：
对于 时的极限值：
由于 ， 有：
且有估值：
利用留数定理有：
例：计算广义积分：
解：函数
的奇点是 ,满足上定理的前提条件，所以：
从而由上定理有：