内容摘要：在数学分析中，学习了曲线和曲面积分的计算，该计算是将方程式转换为参数方程式后进行计算。 这种方法可能很困难，难以计算。 介绍几种计算曲线和曲面的积分方法。
关键词：曲面积分； 曲线积分； 实例
图分类号：O13文献识别码：A
在数学的分析中，学习了曲线和曲面积分的计算。 但是，这个计算是将方程式转换为参数方程式后进行计算。 这种方法可能很困难，难以计算。 以下，笔者根据多年的经验，提出了几种曲线和曲面积分的运算方法。 我期待着扔球的效果。
一.曲面积分的运算
(一)利用轮换对称性简化第二类曲面积分运算
第二类曲面积分也具有重积分的轮换对称性。 这里的轮换是指：
1 .被积公式满足轮转对称性。 也就是说，在补全式中的所有文字被替换为旋转顺序xyzx之后，积分不发生变化；
2 .积分曲面及其指定侧也具有轮换对称性。 这意味着每个坐标平面的投影区域相同，指定的符号也相同。
当满足上述旋转对称性时，
如果是这样的话
上述轮转对称性一般是被积式的变量交换位置，被积式不变，另外，即使区域边界方程中的变量交换位置，区域也不变，所以交换后的积分值当然也不变。
例如，计算1:是由平面x=0、y=0、x y z=1包围的空间区域的整个边界面的外侧。
解：即使变量按顺序以xyzx旋转，积分式也不变，而且积分曲面在各坐标面上的投影区域相同，给定的符号也相同，所以积分曲面及其指定侧也具有旋转对称性，所以积分具有旋转对称性。
其中=1234
由于2、3与面xoy垂直
因为1有z=0，
于是
通过使用旋转对称性简化积分，然后使用其他方法计算这种积分，可以大幅减少计算量。 可见，用轮换对称性计算满足此条件的第二类曲面积分是一种实用的计算方法。
(二)高斯公式法
用片光滑两侧的封闭曲线s包围定理(高斯公式) :空间域v，如果函数
如果p(x，y，z )、q ) x、y、z )、r ) x、y、z )在v上连续，且有一阶连续偏导数，则为：
(1) ) ) )。
其中s取外侧。 公式变成高斯公式。 高斯公式也可以表示为：
(2) ) ) )。
这里，(cos，cos，cos)是s外法线的单位矢量。
应用高斯公式时，应注意条件：S必须是封闭曲面，如果讨论的曲面不是封闭曲面，则必须适当补齐某个曲面使其成为封闭曲面； P、q、r在v上连续，且偏导数也连续。 如果它们及其偏导数在某一点上不连续，则必须利用“挖掘奇点”技巧，对剩下的区域应用高斯公式。
例2:计算曲面积分。 是曲面z=1-x2-y2(z0 )的上侧。
如果将1作为xoy平面上由圆x2 y2=0包围部分的下侧，将作为由和1包围的空间闭区域，则解：
从高斯公式可以知道：
()、
然后，
所以。 ()-() )-() ) ) ) )。
二.曲线积分的运算
用Green公式求解
定理(Green公式)，如果闭区域d被段的平滑曲线l包围，函数p(x，y )和q ) x，y )对d具有一阶连续偏导数，则为：
在此，l是取d的正方向的边界曲线。
利用Green公式可以将曲线积分变换为二重积分。
例如已知3:平面区域d={(x，y )|0x，0y}，l为d的正向边界。 验证：
(1) ) ) )。
(2) ) ) )。
解：(1)根据格林的公式，是：
d具有轮换对称性，因此为：
，
故：
)2)在)1)中知道：
(利用轮换对称性)
=
参照文献：
[1]phdhy，帅含羞草.三重积分及曲面积分的算法研究[J] .长江工程职业技术学院学报，2006.09
[2]zxdgz，jjdym .几个曲线积分的求解定理[J] .甘肃联合大学学报，2009.03
[3]遍历键.高数研究生曲面积分问题的求解方法[J] .试验周刊，2009.11
[4]fddkn .一类曲线、曲面积分方法探讨[J] .甘肃联合大学学报2009.07
个人资料：
粗心蜜蜂(1986-)，汉族，北京人，西北民族大学数学与计算机科学学院数学与应用数学专业。