积分作为高等数学的核心部分，主要有一重积分，二重积分，三重积分，第一型曲线积分，3http://ww.Sina 下面是我的一些总结：
1 .单积分单积分，主要精力要研究不定积分和定积分。 不定积分的求解是以后求其他积分的基础，也是最基础的部分。 这里需要充分的认识，后续的其他积分求解是以单重积分的不定积分为基础进行估计的。
1 )语义f(x ) dx:dx是长度的要素
单重积分的含义是一个物理量对另一个物理量的累积效应。 例如，与速度的时间相关的函数是v(t )，速度*时间=路程。
v(t ) dt=s(t ) t )。
单重积分也可以表示积分函数的变化。
单重积分的几何意义是用函数f(x )为区间) a、b )求出函数和x轴包围的图形的面积。 图：
2 )求解元积分法：
f(u ) x ) u ` ) x ) dx=f(u ) du
分布积分法：
udv=uv-vdu
3 )基本积分公式2 .二重积分1 )含义(3358www.Sina.com/) f(x，y ) d:d为面积元素
二重积分的含义是物理量对二维物理量的累积效应。 例如，曲顶柱体的体积、平面片的质量。
二重积分的几何意义是f(x，y )在区域d上与xOy平面包围的封闭区域的体积。
2 )求解基本方法：
f(x，y ) d=*(a-b ) dx) (1 ) x )2 ) x ) f ) x，y ) dy或f(x，y ) d=*(c-d )
元积分法：
1 .极坐标，设x=rcos，y=rsin。 f(x，y ) dxdy=) f ) rcos，rsin) r drd。 请注意这里多了一个r
2 .直角坐标，x=x(u，v )，y=y ) ) u，v )。 f(x，y ) dxdy=) f[x(u，v )，y ) u，]|J|dudv。 这里的j是雅可比行列式，
j=(x，y )/) u，v )=) x/u ) ) y/v )-) x/v ) ) y ) y/u ) ) ) ) ) ) ) x ) y ) y ) y ) y ) y ) y ) y ) y ) y ) y ) y ) y ) y ) y ) y ) y ) y ) y )
3 .三重积分
1 )意义这里可以用密度来理解：已知(x，y，z )表示空间体每一点的密度大小。 积分可以求出物体的质量。
3358www.Sina.com/((x，y，z ) dV，其中dV为体积元素。
2 )求解基本方法：
f(x，y，z ) dv=) dxdy*(Z1(x，y )-Z2 ) x，y ) dz或f ) x，y，z ) dv=z
元积分法：
1 .极坐标，设x=rcos，y=rsin。 f(x，y，z ) dxdydz=f ) rcos，rsin，z ) r drddz。 与二重积分还原相同。
2 .球面坐标为x=rsincos，y=rsinsin，z=cos。 f(x，y，z ) dxdydz=(f(rsincos，rsinsin，rcos) r^2) sin) drddz .这里(r^2) sin较多
3 .直角坐标，x=x(u，v，l )，y=y ) u，v，l )，z=z ) u，v，l )。 f(x，y，z ) dxdydz=f[x(u，v，l )，y ) u，v，l )，z ) v，] |J| dudvdl。 这里的j是雅可比行列式，j=(x，y，z )/) u，v，l )。
4 .曲线积分4-1第一型曲线积分1 )语义获知一条曲线的线密度，求出曲线的质量。 这里与求出曲线的长度不同，如果这是质量均匀的曲线，则可以通过使用弧微分求出其长度来知道质量。 但现在只知道其线密度，意味着他不一定均匀。
3358www.Sina.com/(f(x，y ) ds表示平面上相对于弧长的曲线积分。 可以用3358www.Sina.com/(f ) x，y，z ) ds表示空间的曲线。
2 )求解(3358www.Sina.com/) f ) x，y ) ds
对于参数方程x=x(t )，y=y (t ) )。 ds=[x`(t ) x ` ) t ) y ` (t ) y ` ) t ) ]dt
() 3358www.Sina.com/) f(x，y ) ds=(ta-TB ) f ) x(t，y ) ) ) x`(t ) *x ` ) t ) ) y ) t
1.y=y(x )时，(第二型曲线积分) f ) x，y ) ds=(xa-XB ) f ) x，y ) ) 1y ` ) x ) x
2 .如果2.x=x(y )，则) (
rong>L)f(x,y)ds = ∫(yc->yd)f[x(y),y] √[x`(y)*x`(y)+1 ]dy 4-2第二型曲线积分 1)意义在xOy平面内一质点受到变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j 的作用沿光滑曲线弧L,从点A运动到点B，求F做的功。
∫(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy。如果L是闭合曲线则写成∮(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy
对于参数方程x=x(t),y=y(t)
∫(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫(ta->tb)[P(x(t),(t))*x`(t)+Q(x(t),y(t))*y`(t)]dt
∫(L)Pdx+Qdy+Rdz=∫(L)[Pcosα+Qcosβ+Rcosγ]ds
αβγ分别为曲线在点(x,y,z)处与坐标轴的夹角。
类似于第一型曲线积分，现在知道曲面的面密度ρ(x,y,z),求曲面的质量。
∫∫(∑)ρ(x,y,z)dS
∫∫(∑)f(x,y,z)dS
对于方程z=z(x,y)。∫ ∫(∑)f(x,y,z)dS = ∫(Dxy)f[x,y,z(x,y)] √[1+(∂z/∂x)(∂z/∂x) + (∂z/∂y)(∂z/∂y) ]dxdy
对于稳定流动的不可压缩的流体在(x,y,z)处的流度可以表示为v(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))
求单位时间内流向定向曲面的流体的质量及流量φ。
φ= ∫∫(∑)[P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+R(x,y,z)cosγ ]dS
∫∫(∑)P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy
=±∫∫(Dyz)P(x,y,z)dydz±∫∫(Dxz)Q(x,y,z)dxdz±∫∫(Dxy)R(x,y,z)dxdy
正负号根据∑面的正负方向来判断。
∫∫(∑)P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy=∫∫(∑)[P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+R(x,y,z)cosγ ]dS
即∫∫(∑)Pydz+Qdxdz+Rdxdy=∫∫(∑)(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ )dS