矩阵的契约、等价与相似联系与区分
一.基本概念和性质
(一)等价：
1、概念。 矩阵a经过有限次初等变换可以变换为b时，矩阵a称为与b等价，表示为。
2、矩阵等价的充要条件：
3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组相互表示，两向量组秩相同，但两向量组各自的线性相关性不同。
(二)合同：
1、概念，两个n阶方阵a，b存在可逆矩阵p，成立时称为a，b合同，该过程称为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：如果矩阵a、b都是实对称矩阵，则二次型具有相等的e负惯性指数，即具有相同的标准型。
(三)相似
1、概念：关于n阶方阵a、b，在一个可逆矩阵p成立时，称为矩阵a、b相似，表示为。
2、矩阵相似性质：
3、矩阵相似的充分条件和充要条件：
充分条件：矩阵a、b具有相同的不变因子或行列式因子。
充值条件：
二、矩阵相等、契约、相似的关系
(一)矩阵相等与向量组相等的关系：
设置矩阵，
1、向量组()为向量组)的极大线性无关组的，有。 也就是说，2个向量是等价的，但2个向量组的线性相关不同。 有钱的人一定与线性无关，但后者未必与线性无关。 另外，矩阵b和a也是不同的类型，但是不能导出。
2、m=n时，两向量组() ) )与矩阵a、b同型。
3、如果两个向量组秩相同，两个向量组等价，则有
综上所述，矩阵等价和矢量等价不能互相推。
(二)、矩阵合同。 相似、等价的关系。
1、联系：矩阵的契约、相似、等价三者之间均具有等价关系。 因为三者都具有自反性、对称型和传递性。
2、合同、相似、等价之间的递归关系
相似等价： a，b同态且
合同等价(同型且
类似与合同之间的一般情况不能递归，但有以下附加条件时可以
如果、a、b都是实对称矩阵，则有a、b一定可以在对角矩阵当时签约，二次型有相同的标准型，即两者有相同的正负惯性指数
也就是说有
、存在一个正交矩阵p，如果能得到的话就好了
、a、b实际对称且存在一个正交矩阵p情况
有时会有
、
下一次讨论成立的条件。
从、、的论述中可以看出
有正交矩阵p时，有时
写原则
此时
即，在p是正交矩阵情况下
(三) )。
1、矩阵等价：同态矩阵来说
一般与初等变换有关
秩是与矩阵等价的不变量，同时，两同态矩阵相似的本质是秩相等
2、矩阵相似：对方阵
等级相等是必要条件
本质是两者有相等的不变因子
3、矩阵约简：方阵一般为对称矩阵
等级相等是必要条件
本质是等级相等，惯性指数相等，即标准型相同
综上所述，秩为矩阵等价的不变量，不变因子为矩阵相似的不变量，本征值为与可对角化矩阵相似的不变量，负惯性指数存在的是对称矩阵合同的不变量，等价为最弱，与合同相似为特殊的等价关系。 相似和合同中一定可以给出等价，但相反是不成立的。 相似和合同不能互相推诿，需要一定的条件。 另外，相似不一定与对角排列相似，不能看作同意线性变换为与对角排列不同基底的矩阵
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