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矩阵等价
定义：对于同型矩阵a、b，存在可逆矩阵p和q，B=PAQ
充要条件： a和b秩相等
两个矩阵对应两个不同的线性变换，如果这两个线性变换作用于同一个向量得到的结果相同，则这两个矩阵是等价的。
也就是说，两个不同空间的相同线性变换之间是等价的关系。 (空间不同，基础不同)
综上所述，矩阵等价包括矩阵相似和矩阵合同。 矩阵相似和矩阵合同有交叉部分，这部分的矩阵既相似又合同。 例如，对称矩阵和由它的本征值组成的对角矩阵之间的关系(A=PBP^-1，a是对称矩阵，b是由a的本征值组成的对角矩阵) )是近似的、约简的，实际上p是正交矩阵，即p的转置等于p的逆
矩阵合同
定义：对于同型方阵a、b，为了使B=PTAP而存在可逆矩阵p
同一空间不同坐标系下同一对矢量的内积度量矩阵是合同关系
矩阵应当负责将一个向量映射到另一个向量以进行内积运算，并且此过程为线性变换。 两个测量矩阵之间是等价的。
矩阵相似
比等价更严厉
定义：对于同型方阵a、b，存在可逆矩阵p，b=p^(-1 ) AP
同一空间的同一线性变换在不同坐标系下对应的两个矩阵具有相似关系
三者关系：
等价(只有秩相同(合同)秩和正负惯性指数相同)相似(秩、正负惯性指数、特征值均相同)，矩阵的亲密关系逐步加深。
相似矩阵一定是等价矩阵，但等价矩阵未必是相似矩阵
PQ=E的等价矩阵是相似矩阵
合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵
正惯性指数相同的等价矩阵是合同矩阵
合同矩阵不一定是相似矩阵
类似矩阵不一定签约
正交相似矩阵一定是合同矩阵，正交合同矩阵一定是相似矩阵
a和b都是n次实对称矩阵，且具有相同的特征根时，a和b是相似的，签约