奇异值：
奇异值分解法是线性代数中重要的矩阵分解法，在信号处理、统计学等领域有着重要的应用。
定义：设a为m*n次矩阵，a '表示a的转置矩阵，A'*A的n个特征值的非负平方根称为a的奇异值。 记为I(a )。 设A‘*A的特征值为I(a‘*a )，则I ) a )=sqrt )I ) a ) ) a )。
核酸矩阵：
奇异矩阵是线性代数的概念，是相应行列式等于0的矩阵。
奇异矩阵的判断方法：首先，看该矩阵是否为方阵(即行数和列数相等的矩阵)。 如果行数和列数不相等，就不能说是特异矩阵和非特异矩阵)。 其次，看这个方阵的行列式|A|是否等于0，如果等于0，就称矩阵a为奇异矩阵； 在不等于0的情况下，将矩阵a称为非奇异矩阵。 另外，根据|A|0可知矩阵a是可逆的，另一个重要结论：可逆矩阵是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。 当a是奇异矩阵时，AX=0有非零解或无解。 当a为非奇异矩阵时，有AX=0，只有唯一的零解。
svd设a为m*n次矩阵，a '表示a的转置矩阵，A'*A的n个特征值的非负平方根称为a的奇异值。 记为I(a )。
奇异值分解：
奇异值分解非常有用，对于矩阵a(m*n )，存在u ) m ) m ) m )，v ) n )，s ) m*n )，满足a=u * s * v’。 在u和v中分别是a的奇异向量，s是a的奇异值。 aa的正交单位特征向量为u，特征值为ss，aa的正交单位特征向量为v，特征值(与aa相同)为ss。 因此，奇异值分解与模态问题密切相关。
定理和推理定理：
设a为m*n阶复矩阵，则存在m阶酉矩阵u和n阶酉矩阵v，a=u * s * v’中s=diag(I，2，…，r )，i0 ) I=1，…，r )，r=rarag 推论：设a为m*n阶实矩阵，则存在m阶正交矩阵u和n阶正交矩阵v，a=u * s * v’中s=diag(I，2，…，r )，I0 ) I=1，…，…，r，r，r=rann
说明： 1、奇异值分解非常有用，对于矩阵a(m*n )，存在u(m*m )，v ) n )，s ) m*n )，满足a=u * s * v’。 在u和v中分别是a的奇异向量，s是a的奇异值。 aa的正交单位特征向量为u，特征值为ss，aa的正交单位特征向量为v，特征值(与aa相同)为ss。 因此，奇异值分解与模态问题密切相关。
2 .奇异值分解提供有关几个a的信息。 例如，非零奇异值的个数(s的阶数)与a的秩相同，一旦秩r确定，u的前r列构成a的列向量空间的正交基。
奇异值分解函数svd
格式： s=SVD(a ) %返回矩阵a的奇异值向量
[U，s，v]=SVD(a ) %返回与a相同大小的对角矩阵s，酉矩阵u和v两个，满足=U*S*V '。 如果a是mn阵，那么u是mm阵，v是nn阵。 奇异值在s的对角线上，非负递减排列
[U1，S1，V1]=SVD(x，0 ) %发生a的“经济”分解，仅计算矩阵u的前n列和nn次的s。 说明：1.分解为“经济型”以节约存储空间。 2. U*S*V'=U1*S1*V1 '。
[1]矩阵逼近奇异值分解在统计中的主要应用是主成分分析(PCA )，是一种用于找出海量数据中隐藏的“模式”的数据分析方法，可用于模式识别、数据压缩等。 PCA算法的作用是将数据集映射到低维空间。 数据集的特征值(在SVD中用奇异值表示)按重要性顺序排列，降维过程是舍弃不重要特征向量的过程，剩余特征向量的张成空间是降维空间。 正交矩阵正交矩阵是实数特化的酉矩阵，所以总是正规矩阵。 这里只考虑实数矩阵，但是这个定义可以适用于其要素来自任何域的矩阵。 正交矩阵始终是从内积中自然引出的，对于复数矩阵，这导致了回归要求。
请注意正交矩阵的定义。 n阶‘实矩阵’a称为正交矩阵。 如果aa’=e (e表示单位矩阵，a '表示“矩阵a的转置矩阵”。 ) a为正交序列时，以下各条件为等价的：
1 ) a是正交矩阵
2 ) aa(=e是单位矩阵) ) )。
3 ) a '是正交矩阵
4 ) a的各行是单位向量，且2个正交
5 ) a的各列是单位向量，且2个正交
6 ) ) Ax，Ay )=) x，y ) x，yR