一、引言《人工智能数学基础不定积分2：利用换元法求不定积分》介绍了用三种换元法求不定积分的方法和案例，《人工智能数学基础—定积分3：微积分基本公式（jddxf公式）》介绍了用微积分基本公式-jddxf公式可以计算定积分。 这样，在一定条件下用换元法求定积分是明显可行的方法。
二、元公式2.1、元公式定理：函数f(x )在区间) a、b )中连续，函数x=) t )满足条件。
()=a，()=b； ) t )在区间[，]上(或[，]上)具有连续导数，并且其值域R=[a，b]，或值域r超过[a，b]，但f ) x )在r上连续
公式(3-1)称为定积分的换元公式。 该公式与不定积分换元法的第二个公式的不同之处在于，符号从不定积分变为定积分，并且没有在公式的右边加上t作为x的反函数值的说明。 这是因为可以通过t直接计算定积分值，不需要还原为x进行计算。 具体请参照以下说明。
*证明思路： **等式两边的被积函数的元函数都存在，所以应用jddxf公式，假设f(x )是f ) x )的元函数，可以得到：
另一方面，如果记住(t )=f ) ) t ) )，并对其求出导数，则可以证明是f )) ) t )的原函数，因此有以下情况。
因此，有：
可知定理成立。
注意：
定积分中的dx本来是定积分符号中不可分割的部分，但是在定积分中利用元公式的情况下，可以将其作为微分符号。 即，在x=(t )的情况下，dx=) ) dt； 应用元公式时，用x=(t )将原来的变量x置换为新的变量t时，积分区间的上下限也需要置换为新的变量t的上下限； f() t ) )的原始函数) t )之后，不为了计算不定积分而将) t )变换为原始变量x的函数，而是将新的变量t的上下限分别代入) t )并减去即可； 原来的转换公式可以反过来使用。 也就是说，左右交换表达式(3-1)，为了便于记忆(也就是说，将原始转换表达式从x转换为t )，还交换t和x，得到以下表达式：
这是通过=(a )，=) (b )，而是通过t=) ) x )来引入新的变量t。 三.案例1
情况2
情况3
四.一些特殊函数定积分的性质4.1，关于奇偶函数定积分的性质1，如果f(x )在[-a，a]上是连续的且是偶函数：
2、当f(x )在[-a，a]上连续且是偶函数时：
这两个性质的证明非常简单，首先分割为[-a，0]和[0，a]的定积分，然后对负区间进行x=-t变换，结合奇偶函数的性质和定积分的补充规定即可证明。
利用这两个性质，能够简化关于原点对称区间中奇偶函数的定积分的计算。
4.2、关于f(sinx )复合函数定积分，假设f ) x )在[ 0，1 ]处连续，则：
假设t=-x，使用函数及微积分的基础知识即可证明这两个性质。
4.3、假设f(x )是连续周期函数，则周期函数的定积分如下。
这两个证明非常容易，应该基于周期函数的性质就可以了。
五、本节介绍定积分的元公式，并举例说明用换元法计算定积分的具体过程。 定积分计算时，必须注意到不同积分区间的原函数可能不同。
说明：本文内容是老猴子学习同济版高数的总结，需要对原教材的电子版以及OpenCV、Python的基础知识、图像处理原理介绍相关电子资料，或者对文章内容有疑问的，可以在博客首页左侧的二维码加微信公众号
更多人工智能数学基础请参阅专栏《人工智能数学基础》。
写起来并不容易。 请支持。 如果读了这篇文章你得到过的话，请称赞、评论、收藏。 谢谢您的支持。
老猴子付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9607725.html 使用PyQt开发图形界面Python应用》专门介绍基于Python的PyQt图形界面开发基础教程，相关文章目录为《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/107580932 使用PyQt开发图形界面Python应用专栏目录》； 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10232926.html moviepy音视频开发专栏 )详细介绍moviepy音视频剪辑合成处理的类相关方法及使用相关方法进行相关剪辑合成场景的处理，对应文章目录为《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/107574583 moviepy音视频开发专栏文章目录》； 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10581071.html OpenCV-Python初学者疑难问题集》是《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category _ 9979286.html ope》
nCV-Python图形图像处理 》的伴生专栏，是笔者对OpenCV-Python图形图像处理学习中遇到的一些问题个人感悟的整合，相关资料基本上都是老猿反复研究的成果，有助于OpenCV-Python初学者比较深入地理解OpenCV，对应文章目录为《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/109713407 OpenCV-Python初学者疑难问题集专栏目录 》付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10762553.html Python爬虫入门 》站在一个互联网前端开发kddxxm的角度介绍爬虫开发应知应会内容，包括爬虫入门的基础知识，以及爬取CSDN文章信息、博主信息、给文章点赞、评论等实战内容。前两个专栏都适合有一定Python基础但无相关知识的kddxxm读者学习，第三个专栏请大家结合《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python图形图像处理 》的学习使用。
对于缺乏Python基础的同仁，可以通过老猿的免费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9831699.html 专栏：Python基础教程目录）从零开始学习Python。
如果有兴趣也愿意支持老猿的读者，欢迎购买付费专栏。
老猿Python，跟老猿学Python！ ☞ ░ 前往老猿Python博文目录 https://blog.csdn.net/LaoYuanPython ░