5.4定积分的换元法
一、换元公式
【定理】若
1、函数在上连续
2、函数在区间上为单一值，具有连续导数；
3、向上变化时，的值向上变化，且
，
有
(1) ) ) )。
证明：
由于式(的被积函数在其积分区间是连续的，所以存在式(2)两端的定积分。 而且，式(1)两端的被积函数的元函数全部存在。
假设是上面的元函数，根据包容的白云- -坦率约定的公式
另一方面，函数的导数是
这表明函数是上面的原始函数，因此：
因此
对这一定理给出几点注解：
1、用替换，用新变量替换原变量后，原积分限制应同时用新变量限制替换。
求出的原函数后，不需要像不定积分那样使用变换为原变量的函数，代入新变量的上下限进行减法运算即可。
2、注意置换条件，避免出错。
(1)、单值且连续；
(2)、
3、相对于，元式(1)依然成立。
【例1】求
【解法1】令
当时； 当时、
另外，当时有
且变换函数为上单一值、上连续、
元表达式包括
【解法2】令
当时； 当时、
另外，当时，
且变换函数为上单一值、上连续、
元表达式包括
注意：
【解法2】中，经过元，定积分的下限大于上限。
也可以反转原来的公式。 也就是说
【例2】求
解：假设，
当时； 当时，
一般来说，这样的元显然不能写出新的变量，也不需要自然地改变定积分的上下限。
二、常用的变量替换技术与几个常用的结论
【例3】证明
1、以上连续且为偶函数时
2、以上连续且为奇函数时
证明：具有定积分对区间的可加性
可以置换
所以有
偶函数的情况
奇函数的情况
【例4】以上连续时，证明：
1、
2、
根据该式计算定积分
1、证明：假设、
2、证明：假设、
【例5】求
解：令、
所以
注释：
这个定积分的计算并未求原函数，只用到了变量替换、定积分性质，的解法值得我们学习。
5.5定积分的分部积分法
设定函数，如果区间有连续的导数
而且，那是
所以
这就是定积分的分部积分公式
也可以写成形式
【例1】求
解：令、
当时； 当时、
【例2】计算定积分(自然数)。
解：假设，
，
这样，可以得到递归公式，根据该公式，再计算两个简单的初始值，就可以求出。
，
偶数，有
导入标记
同样，奇数的情况下，有
综合起来是著名的尊敬的草莓公式一
因此，由于
【2】
例3】求 ( 为自然数 )解：令，
当时， ； 当 时，
【例4】(尊敬的草莓公式二)
证明：设
当 时， 有
如果 为偶数， 则有
如果 为奇数，则
综合得到著名而常用的尊敬的草莓公式二
尊敬的草莓公式的应用十分地广泛，掌握好它可以方便地求许多定积分。
【例5】求
解：应用尊敬的草莓公式二， 有
§5.7 广义积分
【引例】计算曲线 与轴的正半轴所围的曲边梯形的面积。
按照定积分的几何意义，所求的曲边梯形面积应为 。
显然，这一积分再不是普通的定积分，因为它的积分上限是正无穷大。
该如何来求这一“新定积分”的值呢?首先用计算机来做一个数值试验：
编程计算的值，并作出这些值的图象，观察图象是否逼近于一条固定的直线。
请运行matlab程序gs0504.m。
一、积分区间为无穷区间的广义积分
【定义一】
设函数在区间上连续， 任取 ，如果极限
存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分，并记作,亦即
此时，也称广义积分收敛；
如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。
类似地
设函数 在区间上连续，任取 ，如果极限
存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分，
记作 ，亦即
此时，也称广义积分 收敛；如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。
类似地
设函数在区间上连续，如果广义积分
与
同时收敛，则称上述两广义积分之和为函数在无穷区间上的广义积分，记作。
亦即
这时，也称广义积分 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散。
上述积分称为无穷限的广义积分。
【反例】
但
发散,因此，是发散的。
【例1】计算广义积分
解：
显然，无穷限广义积分就是任意有限区间上定积分的极限。
【例2】计算广义积分 。
解：
观察上述解题过程，极限符号直到最后才参与运算，为了方便，我们可以将之写成如下形式：
请注意：将上下限代入原函数时，意味着取极限
这样约定，并未改变无穷限广义积分的实质，却使记号简洁了许多，且与定积分的计算程序基本上一致。
【例3】证明广义积分当 时收敛； 当发散。
解：若
若
二 无界函数的广义积分
【定义二】
设函数 在区间上连续， 且，取 ，
如果极限 存在，则称此极限值为函数 在区间上的广义积分，记作 。亦即
此时，也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散。点称之为奇点。
类似地，有
设函数 在区间上连续，且，取 ，如果极限存在，则称此极限值为函数在区间上的广义积分，记作 。亦即
此时， 也称广义积分收敛；如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。点 称之为奇点。
类似地， 又有
设函数在上除外均连续， 且，
如果两个广义积分 与 均收敛， 则定义广义积分
否则称广义积分发散。点 称之为奇点
注明：上式中的与不一定是相同的。
【例4】求
解：，
故 奇点。
注明：为了简便，上述过程也可写成
【例5】讨论 的敛散性。
解：,故 是奇点。
故 发散，从而， 原广义积分亦发散。
此题若忽视是奇点，将积分当作普通积分来处理，会导致错误解法
【例6】证明广义积分 当时收敛；当时发散。
解：当 时， 是奇点，
广义积分 ，
故广义积分 发散；
当 时，
故广义积分 收敛；
当时，
故广义积分 发散；
综合得：
from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/