证明：
不妨设A是n阶对角方阵。n是正整数，并且n大于等于2 。A 的行列式是 |A|。
令 aij表示方阵 A 中的第 i 行，第 j 列的元素。显然，
令 Aij 表示元素 aij 的代数余子式。
题目可以描述成求证 |A| = a11a22···ann
存在两种情况。1. A的对角线元素至少有一个为0 。2. A的对角线元素全都不为0 。
第一种情况，A的对角线元素至少有一个为0。设这个等于0的对角线元素是第 r 行，第 r 列，用 arr 表示。显然 1 ≤ r ≤ n，并且 r 是正整数。因为 A 是对角方阵，所以A的第 r 行全都是0 。
根据《线性代数》P13 定理6，行列式的展开定理：一个n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D=ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin (i=1, 2, ···, n)
或 D=a1jA1j + a2jA2j + … + anjAnj (j=1, 2, ··· , n)
根据行列式的展开定理，可得
|A| = ar1Ar1 + ar2Ar2 + … + ar nAr n
因为A的第 r 行全都是0 ，所以 |A| = 0 。
因为 arr = 0，所以 a11a22···ann = 0
所以 |A| = a11a22···ann
第二种情况，A的对角线元素全都不为0。我先复习《线性代数》P13 定理5：
一个 n 阶行列式，若其中第 i 行所有元素除 aij 外都为零，则这个行列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，即 D=aijAij
下文称这个定理为“定理5”。
利用数学归纳法证明。
当 n=2 时，可以如下表示A
|A|=a11a22。
当 n=3 时，可以如下表示A
a33 的余子式是 M33，
A 的第 3 行元素除了 a33 外都是零，那么根据定理5，
|A| = a33A33 = a33(-1)3+3M33 = a33M33
由 n=2 时的推导，可知 M33 = a11a22
所以当 n=3 时，|A| = a11a22a33
当 n=k 时，可以如下表示A
|A| = a11a22··· akk
当 n=k+1 时，可以如下表示A
ak+1，k+1 的余子式是 Mk+1，k+1
A 的第 k+1 行元素除了 ak+1，k+1 外都是零，那么根据定理5，
|A| = ak+1，k+1Ak+1，k+1
= ak+1，k+1(-1)k+1+k+1Mk+1，k+1
= ak+1，k+1(-1)2k+2Mk+1，k+1
= ak+1，k+1Mk+1，k+1
由 n=k 时的推导，可知 Mk+1，k+1 = a11a22··· akk
所以当 n=k+1 时，|A| = a11a22 ··· akkak+1，k+1
通过数学归纳法，可证 |A| = a11a22···ann
综上所述，可以证明: 对角方阵的行列式等于方阵对角元素的乘积。