若 f(x) 在 [a,b] 上可积，则 |f(x)| 也在 [a,b] 上可积，且
|∫baf(x)dx|≤∫ba|f(x)|dx
f(x) 在 [a,b] 上可积，则 f(x) 在 [a,b] 上有界，因此 |f(x)| 也在 [a,b] 上有界。
对于区间 [a,b] 的任意一个划分 P ， ∀i∈N,1≤i≤n,
令 Mi=sup{|f(x)|:x∈[xi−1,xi],},
mi=inf{|f(x)|:x∈[xi−1,xi]},
wi=Mi−mi,
令 M′i=sup{f(x):x∈[xi−1,xi],},
m′i=inf{f(x):x∈[xi−1,xi]},
w′i=M′i−m′i,
则：
∀ε>0,∃x^∈[xi−1,xi], 使得 |f(x^)|>Mi−ε2,
∃x~∈[xi−1,xi], 使得 |f(x~)|<mi+ε2,
易知 m′i≤f(x^),f(x~)≤M′i,
⇒m′i−M′i≤f(x^)−f(x~)≤M′i−m′i=w′i,
⇒|f(x^)−f(x~)|≤w′i,
因此
wi−ε=Mi−mi−ε
<|f(x^)|−|f(x~)|
≤||f(x^)|−|f(x~)||
≤|f(x^)−f(x~)|,
=w′i,
⇒wi≤w′i,
f(x) 在 [a,b] 上可积，则
∀ε>0, 存在区间 [a,b] 的划分 P ，使得
∑ni=1w′iΔxi<ε,
⇒∑ni=1wiΔxi≤∑ni=1w′iΔxi<ε,
因此 |f(x)| 也在 [a,b] 上可积。
易知 ∀x∈[a,b],−|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|,
由性质3，
−∫ba|f(x)|dx=∫ba[−|f(x)|]dx≤∫baf(x)dx≤∫ba|f(x)|dx,
因此 |∫baf(x)dx|≤∫ba|f(x)|dx