设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分(indefinite integral)。
非线性微分方程:
在有限的时间间隔Δt积分:
连续时间内积分:
工程上最常见的有三种：欧拉积分（Euler method）、中值积分（Midpoint method）和龙格－库塔法积分（Runge–Kutta methods）。他们的区别就是如何用数值方法模拟一个斜率。这里简单总结如下：
2. 欧拉积分设有如下微分方程：
欧拉方法假设导数在区间内是恒定的，作为一般的RK方法，这对应于单阶段方法，计算初始点的导数，并用它来计算终点的积分值
3. 中值积分
中值积分法假设导数是间隔中点的导数，并进行一次迭代来计算此中点的fx值。
设有如下微分方程：
欧拉积分与中值积分都是一阶近似并没有本质不同，二者只是一阶导数所取位置不同，他们的性能也有差别，如下图所示，作为一阶积分近似方法来讲，中点积分有时会稍好一些（带来更快的收敛速度）。
4.RK4积分(4阶龙格库塔法)龙格－库塔法（Runge-Kutta methods）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。在工程中最常用的是 四阶龙格－库塔积分，也就是 RK4 积分，它的计算方式如下：
设有如下微分方程：
其中：
k1 是时间段开始时的斜率；
k2 是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn + h/2的值；
k3 也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；
k4 是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。
其数学公式如下：
从公式中可以看出两个中点的斜率具有更大的权重。龙格－库塔法的示意图如下，它也是一种更高阶的逼近方法，通常也具有更好的逼近效果，总累计误差为 Δt4 阶。
Runge-Kutta4假定评估值，对于 f()在间隔的开始，中点，中点的中点和结束。它使用四个阶段迭代计算积分，用四个导数k 1~k 4，顺序获得。然后对这些导数进行加权平均，以获得4阶估计值间隔中的导数。
RK4方法更好地指定为一个小算法而不是一步式公式。
龙格-库塔方法的推导基于Taylor展开方法，因而它要求所求的解具有较好的光滑性。如果解的光滑性差，那么，使用四阶龙格-库塔方法求得的数值解，其精度可能反而不如改进的欧拉方法。在实际计算时，应正对问题的具体特点选择适合的算法。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长取小。
参考代码 #include "stdio.h"#include "stdlib.h" void RKT(t,y,n,h,k,z)int n; /*微分方程组中方程的个数，也是未知函数的个数*/int k; /*积分的步数(包括起始点这一步)*/double t; /*积分的起始点t0*/double h; /*积分的步长*/double y[]; /*存放n个未知函数在起始点t处的函数值,返回时,其初值在二维数组z的第零列中*/double z[]; /*二维数组,体积为n x k.返回k个积分点上的n个未知函数值*/{ extern void Func(); /*声明要求解的微分方程组*/ int i,j,l; double a[4],*b,*d; b=malloc(n*sizeof(double)); /*分配存储空间*/ if(b == NULL) { printf("内存分配失败n"); exit(1); } d=malloc(n*sizeof(double)); /*分配存储空间*/ if(d == NULL) { printf("内存分配失败n"); exit(1); } /*后面应用RK4公式中用到的系数*/ a[0]=h/2.0; a[1]=h/2.0; a[2]=h; a[3]=h; for(i=0; i<=n-1; i++) z[i*k]=y[i]; /*将初值赋给数组z的相应位置*/ for(l=1; l<=k-1; l++) { Func(y,d); for (i=0; i<=n-1; i++) b[i]=y[i]; for (j=0; j<=2; j++) { for (i=0; i<=n-1; i++) { y[i]=z[i*k+l-1]+a[j]*d[i]; b[i]=b[i]+a[j+1]*d[i]/3.0; } Func(y,d); } for(i=0; i<=n-1; i++) y[i]=b[i]+h*d[i]/6.0; for(i=0; i<=n-1; i++) z[i*k+l]=y[i]; t=t+h; } free(b); /*释放存储空间*/ free(d); /*释放存储空间*/ return;}main(){ int i,j; double t,h,y[3],z[3][11]; y[0]=-1.0; y[1]=0.0; y[2]=1.0; t=0.0; h=0.01; RKT(t,y,3,h,11,z); printf("n"); for (i=0; i<=10; i++) /*打印输出结果*/ { t=i*h; printf("t=%5.2ft ",t); for (j=0; j<=2; j++) printf("y(%d)=%e ",j,z[j][i]); printf("n"); }} void Func(y,d)double y[],d[];{ d[0]=y[1]; /*y0'=y1*/ d[1]=-y[0]; /*y1'=y0*/ d[2]=-y[2]; /*y2'=y2*/ return;}
参考文章附录A:四元数误差状态卡尔曼滤波
参考不安的彩虹的博客说明:http://www.xinliang-zhong.vip/msckf_notes/