平面方程 原文链接： http://www.songho.ca/math/plane/plane.html 飘飘白云 译( http://www.cnblogs.com/kesalin) (转载请注明出处以及作&译者信息，非商业用途) 平面方程
平面上的一点以及垂直于该平面的法线唯一定义了 3D 空间的一个平面。
(图一) 3D 空间中的平面
在图一中，给定法线向量，以及平面上的一点 P1，对于平面上的任意一点 P ，我们可以在平面上定义一个由 P1指向 P 的向量：
因为法线垂直于平面，它必定也垂直于位于平面上的向量，因此它们的点积为 0 ：
以上就是平面方程的向量形式，下面我们来看代数形式的，通过点积计算，我们得到：
如果我们用来替代上面表达式中的常数部分，就得到平面方程的代数形式：
原点到平面的距离
如果法线是归一化的，那么平面方程中的常数表达式 d 就是原点到平面的距离。
（图二）平面和归一化法线
如图二中，给定归一化法线向量 (a1, b1, c1)，以及平面上的一点 P1(Da1,Db1,Dc1)，我们来推导原点到平面的距离D。 将法线向量(a1, b1, c1) 和点 P1 代入平面方程，得到：
因此，我们可以用标准平面方程除以法线的模（法线长度）来计算原点到平面的距离。举个例子，原点到以(1, 2, 2) 为法线的平面（x + 2y + 2z - 6 = 0）的距离为 2，计算过程如下：
任意点到平面的距离
(图三) 任意点到平面的距离
如图三中，我们来推导空间中任意一点 P2 到平面的距离 D 的计算公式。P2 到平面的距离等于由 P1 指向 P2 的向量在法线向量上的投影。我们用点积来计算投影距离 D ：
展开分子：
代入前面的距离公式，得到最终的点到平面的距离公式：
观察上面的式子，我们就可以发现距离 D 是将点 P2 代入平面方程中，再除以法线的模得到的。举个例子，点(-1, -2, -3)到平面x + 2y + 2z - 6 = 0的距离为：
注意：距离是有符号的！它可以为负值，我们可以通过这个符号来决定点位于平面的哪一边(D > 0，点在平面的正面-法线指向那一边；D < 0，带在平面的反面-法线相反方向的那一边，当然 D = 0 就是在平面上啦！)。