本文主要内容是两个极限存在准则，以及由这两个准则推出的两个重要极限。以后解题可以直接用此重要极限。还有就是注意数列与函数之间的联系，它们在很多时候都是互通的。
另外，如果发现错误之处，欢迎指出，我会及时完善。大家一起学习吧~
准则 （夹逼准则）：如果数列
满足下列条件：①
②
那么
有极限且 。证明：根据准则中的条件②：
，可由极限定义知：，由于 ，因此存在 ，使当 时， 亦即 ;
又
，因此存在存在 ，使当 时， 亦即 ;,不等式 均成立，分别取不等式 和 的左半侧和右半侧有 ，再结合条件① 有 ，可得 。我们把带有下划线的文字连成一句话：对任意给定的 ，存在 ，当 时， 。这不就是数列极限定义嘛~所以推出 。证毕！
以上是关于数列的夹逼准则，我们可以把它推广到函数，如下:
准则 ：如果函数
满足下列条件：①
（或 ）时，②
（或 ）那么
存在，且 （或 存在且 ）。证明过程与数列夹逼准则类似，这里不再赘述。
重要极限1：证明：此函数分母的极限为
，所以不能直接用极限商的运算法则来证明。我们可以用夹逼准则来证明：如下图单位圆中，令
，点 的切线与 的延长线交于 ， ，则线段 、弧 和线段 的长度分别满足： ，由于 面积（ ） 扇形 的面积（ ） 的面积（ ），所以有 同时除以 ：由于用
代替 时， 与 值不变，所以 当 时， 也成立。这样就得出，当 ， ，下面我们根据夹逼准则证明当 时，不等式两侧的 与 的极限为 ，便得出 极限也为 。下面来证明 ：当
时，即
由于
根据夹逼准则 ， ，而根据极限差的运算法则 因此 。由于
,根据夹逼准则 ，即得 ,证毕！
例题：
1.求
解：
2.
解：
准则 （单调有界原理）：单调有界数列必有极限。
单调增数列：
单调减数列：
单调增数列和单调减数列统称为单调数列。
注：(1)在数列极限的性质那一讲中，收敛数列的有界性提到（戳我了解）：数列有极限（收敛）则一定有界，但是数列有界却不一定有极限，应该补充为，数列单调且有界才有极限（收敛）。
(2)对于准则
的几何解释为（以单调增数列为例）:数列单调增加有两种情况，情况①为，数列每一项的值不断增大，一直趋向于无穷大；情况②是数列每一项值不断增大，但是最终不断趋向包容的灯泡一个常数
。所以如果单调增数列有界的话就不可能为情况①，只能是情况②。 重要极限2：首先我们证明当
取正整数 而趋近于 的情形，这样就产生了一个数列。设数列通项为
,我们来证明数列 单调增加且有界。根据二项式定理（戳我了解）展开：
最终化简可得：
类似地，
比较
和 的最终展开式，可以看到除了前两项均为 外，在后面的所有项中， 的每一项都小于 的对应项，并且仔细观察可以看出， 还比 多出最后一项 ，该项的值是大于 的，因此 ,故数列 是严格 单调增加的（戳我了解严格单调与单调的关系）另外还可证明数列
是有界的，因为把 的展开式中各项括号内的数用较大的数 代替，得这说明数列
有界，又因为之前证明其单调，所以单调有界，根据准则 ，这个数列极限存在，通常用字母 表示它，即 。证毕！注：① 可以把该数列极限推广到函数
，有 书上注解中有证明，自己好好琢磨。②可以证明无论是
还是 函数 的极限都存在，且为 。（书上注解）③
是无理数，跟指数函数 和自然对数 的底 是同一个常数。④ 利用复合函数的极限运算法则，把表达式
中的 代换为 ,当 时， ，由复合函数的极限运算法则： 。其实无论是 还是 它们的共同点是当指数部分趋向于无穷大，括号内第二项趋向于无穷小，二者形式上互为倒数，那么极限为 。例题：求
解：