？ 2？ Mr；a2？ ？ (an(a2 (？ ？ An关系的概念定义： A？ b的子集r被称为a到b的二元关系； A1？ An的子集r叫做A1吗？ An上的一个n元关系.若？ x，y？ r被称为x与y有关的r，xRy .例： A={a，b，c，d}； B={e，f，g}； R={？ A，g？ D，e？ }是二元关系，有aRg； dRe .注：一般？ x，y？ y，x？ 所以一般都是xRy？ 当yRx .二元关系图、前域、伴随域、定义域、值域r为a到b的一个二元关系时，a称为r的前域，b称为r的伴随域。 集合d(r(={x|？ y (？ x，y？ 被称为r}r的定义域； r(r )={y|？ x ) )？ x，y？ r )被称为r的值域。 上例中的R={？ A，g？ D，e？ }d(r )={a，d}； r(r )={g，e} .几个重要关系R=A1？ An，r称为全局关系R=？ r称为空关系。 假设s和r是给定集合上的关系，则RS，RS，R-S，r )分别称为r和s的并行关系、交关系、差关系和r的互补关系。 这样，可以从已知的关系中派生出各种新的关系。 a上的二元关系ia=？ x，x？ |x？ a )被称为相等关系。 若干性质d(r(s )=d(r(d(s ) )； (r ) s )？ d(r ) d ) s； (r(s )=r(r(r(s ) )； (r ) s )？ R(R ) R(R ) .证 x？ d(r(s ) )？ y(x(r(s ) y )？ y(XRY(xsy ) )？ y(XRY (？ y(xsy )辖区收缩？ x？ d(r(x？ d(s )？ x？ d(r(d(s ) 3.1习题#7证明： A加2|A？ 因为A|个二元关系是a吗？ a有几个子集，a上的二元关系有几个？ 因此，a上的二元关系的个数为： |？ (a？ A(|=2|A？ A|=2|端庄悟空|即2的| a |平方.一般来说，a上n元关系的个数为2的|A|n次幂.例6a={ 1，2，3，4，5 }； R={？ 1，2？ 2，2？ 三，二？ 3，4？ 四三？ 的关系图在以下有向图中描述了关系矩阵的概念。 r为A={a1，从am到B={b1，因为bn}的关系，m？ n矩阵MR={rij}被称为r的关系矩阵，其中rij=1，aiRbj； rij=0，该？ (aiRbj ) .例： A={a，b，c，d}； B={e，f，g}； R={？ A，g？ D，e？ )的关系矩阵为3360(001 ) (00 ) ) 0030 )0)空关系和全域关系的关系矩阵空关系的关系矩阵为全0矩阵：M？=0.全局关系的关系矩阵是全1矩阵，标记为j .相等关系的关系矩阵可以根据单位矩阵：MIA=E和MR相互唯一确定的特性，用关系矩阵有效地刻画关系的许多性质。 有限集合a上的任意关系r和S R=S？ MR=MS； r？ s？ MR？ MS (即)？ I？ j(rij？ sij (？ I？ j(rij=1？ sij=1).r在a中会自我逆转吗？ IA？ r(Mr对角元均为1 ) r在a中是否相反？ RIA=？ (MR对角元都是0 ) r在a中对称吗？ MR是对称矩阵(MRT=MR )？ I？ j(I？ j？ rijrji=0？ r在a中呈反对称关系的一些重要性质，对于a上的任意关系，R R在a中自我反转吗？ x(x？ A？ xRx； r在a中反叛吗？ x(x？ A？ (xRx )； r是a对称的吗？ x？ Y(X，y？ AxRy？ yRx； r在a中是反对称的？ x？ Y(X，y？ AxRyyRx？ x=y； r可以用a传递吗？ x？ y？ z(x，y，z？ AxRyyRz？ xRz ).3.1#8(d ) R={？ A，B？ B，C？ C，A？ d，d？ )只有反对称r的关系矩阵为：(010 ) (0010 ) ) 1003 ) 00133.1#10:整数集I上的二元关系相等=，全球关系I？ I、空的关系？ 的性质=自我反对称反对称传递