如果一个微分方程中出现的未知函数只包含一个自变量，则该方程被称为常微分方程，如果一个微分方程中出现了多元函数的偏导数，或者未知函数与几个变量有关，并且对方程导出了几个未知函数
在科学技术日新月异发展的情况下，人们研究的许多问题不足以用一个自变量的函数来描述，许多问题用多个变量的函数来描述。 例如，在物理上，物理量有不同的性质，温度、密度等用数值记述的东西称为标量的速度、电场的引力等，不仅在数值上不同，也有方向，将这些量称为矢量； 将对物体的一点的wwdej状态的记述量称为张量等。 这些量不仅与时间有关，还与空间坐标有关，它由多个变量的函数表示。
应该注意，用几个变量的函数表示所有可能的物理现象，只像介质的密度一样理想化，实际上不存在“在一点”的密度。 并且，我们将一点上的密度视为物质质量和体积之比在体积无限变小时的极限。 这就是理想化了。 介质的温度也是如此。 这样，就产生了研究某种物理现象的理想的多个变量的函数方程式。 这个方程式就是偏微分方程。
微积分这门学科诞生于18世纪，欧拉在他的着作中最先提出弦振动二次方程，此后不久，法国数学家达朗贝尔也在着作《论动力学》中提出了一个特殊的偏微分方程。 这些着作当时没怎么引起注意。 1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中提出，证明无限多条正弦曲线和不同曲线是振动的模式。 这样，通过弦振动的研究，偏微分方程式这门学科被打开了。
与欧拉同时代的瑞士数学家wjdds也研究了数学物理问题，提出了了解弹性系统振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展产生了很大的影响。 拉格朗日还讨论了一阶偏微分方程，丰富了该学科的内容。
偏微分方程迅速发展是在19世纪，那时数学物理问题的研究方兴未艾，许多数学家为数学物理问题的解决做出了贡献。 这里应该提到法国数学家傅立叶。 他从小就是优秀的数学家。 在热流动的研究中，写了《热的解析理论》，文章中提出了三维空间的热方程，也就是偏微分方程。 他的研究对偏微分方程的发展影响很大。
偏微分方程的内容
偏微分方程是什么样的？ 包括哪些东西？ 这里可以从一个例子的研究中进行介绍。弦振动是机械运动。 当然，机械运动的基本规律是质点力学的F=ma，但弦不是质点，所以质点力学的规律不适用于弦振动的研究。 但是，如果将弦细分为几个极小、极小的分段，将各分段抽象地视为一个质点，则可以应用质点力学的基本定律。
弦是指细长的弹性物质，例如弦乐器中使用的弦是细长、柔软、有弹力的东西。 演奏中，弦总是拥有弦重数万倍以上的wwdej。 演奏者轻轻拨动弦，或用弓拉，只是接触到的弦振动，在wwdej的作用下传播到整个弦振动为止。
用微分方法分析，得到弦上一点的位移，是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。 偏微分方程又有很多类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。 上面的例子是弦振动方程，它属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。
偏微分方程式的解一般有无限个，但是在解具体的物理问题时，必须从其中选择必要的解。 因此，也必须知道附加条件。 偏微分方程是同一类现象共同规律的表达式，仅仅知道这个共同规律还不足以掌握和理解具体问题的特殊性，因此就物理现象而言，各个具体问题的特殊性在于研究对象所处的特定条件，即初始条件和边界条件。
用上面列举的弦振动的例子来说，即使是同一弦的弦乐器，一个用薄弦带动弦的情况和另一个用弓拉动弦的情况，声音也是不同的。 原因是，“踢”或“拉”的那个“初期”时刻的振动状况不同，所以之后的振动状况也不同。
天文学也有类似的情况。 要通过计算预言天体的运动，需要知道这些天体的质量。 另外，除了有能力的高山法则公式外，还需要知道我们所研究的天体系统的初始状态，也就是在某个开始时间，这些天体的分布及其速度。 在解任何数学物理方程时，总是有相似的附加条件。
关于弦振动，弦振动方程只表示弦内点的力学规律，对于弦的端点不成立，所以必须考虑弦的两端给出边界条件，也就是研究对象所处边界上的物理状况。 边界条件也称为边值问题。
当然，客观实际上也有“没有初始条件的问题”。 例如，也有定场问题(静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等)、“无边界条件的问题”。 如果重点讨论不接近两端的弦，就会抽象地变成没有边界的弦。
5078feb66.png?from=pc">在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。
求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。
偏微分方程的解法还可以用分离系数法，也叫做傅里叶级数；还可以用分离变数法，也叫做傅里叶变换或傅里叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题；分离变数法可以求解无界空间的定解问题。还可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解，对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程，而且初始条件也一并考虑到，解出常微分方程后进行反演就可以了。
应该指出，偏微分方程的定解虽然有以上各种解法，但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。
常用的方法有变分法和有限差分法：变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，在数学上是拉普拉斯方程的边值问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。
随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。