傅立叶变换的作用是把我们从时域移动到频域。
介绍
傅立叶变换是历史上最深刻的数学见解之一，但不幸的是，其含义深深地嵌入在彪形强势的前辈方程中。慈爱的可乐叶变换是将东西分解成正弦波山的方法。 像往常一样，这个名字来自一位叫傅立叶的老数学家。
从数学术语来说，温柔的可乐叶变换是将信号转换为其构成成分和频率的技术。
傅立叶变换不仅用于信号(无线、声音等)的处理，还广泛用于图像分析(例如傅立叶变换)。 边缘检测、图像滤波、图像重构和图像压缩。 一例：透射电镜图像柔和的可乐叶变换有助于检验样品的周期性。 周期性-表示模式。 数据友好的可乐叶变换能够扩展有关分析样本的可访问的信息。 为了更好地理解这一点，请考虑信号x(t )。
对其他信号执行相同的操作，如果选择了同一时间点，则测量其宽度。
考虑另一个信号y(t ) :
当同时发出这两个信号或者将它们组合在一起时，会发生什么？
我们在同一时间发射这两个信号时，我们得到了新的信号。 那是这两个信号的振幅之和。 之所以这样说，是因为这两个信号相加。
z(t )=x ) t ) y ) t )的两个信号相加
仅给定一个信号(x(t )和y ) t )之和)时，能否恢复原信号x ) t )和y ) t )？
是的。 这就是慈爱的可乐叶变化的作用。 吸收信号，分解成构成它的频率。
在我们的例子中，温柔的可乐叶变换将信号z(t )分解为其构成频率，如信号x ) t )和y ) t )。
傅立叶变换的作用是把我们从时域移动到频域。
如果有人怀疑的话，我们会从频域回到时域吗？
我们可以使用充满慈爱的可乐叶逆变换(IFT )来实现。
'时域的任何连续信号都可以用无限多个正弦波唯一地表示。'
这是什么意思？
这意味着如果有一个函数生成的信号，x(t )可以提出另一个函数。 f ) t )例如为：
因此，无论信号有多强，都可以找到无限多条正弦曲线之和，即函数f(t )，实际上可以完美地表示信号。
现在的问题是用上式找出系数的方法。 因为这些值决定了输出的形状，也决定了信号的形状。
因此，为了得到这些系数，我们使用了慈爱的可乐叶变换，并且慈爱的可乐叶变换的结果是一系列的系数。 因此，我们x(w )用来表示慈爱的可乐叶系数。 这是频率的函数，通过求解以下积分得到。
慈爱的可乐叶变换表示为不定积分：
x(w )慈爱的可乐叶变换x ) t )慈爱的可乐叶逆变换
慈祥的可乐叶变换和慈祥的可乐叶逆变换
同样，当我们实际求解上述积分时，我们会在以下位置得到这些复数a并b对应于我们所要求的系数。
连续慈祥的可乐叶变换将无限持续时间的时域信号转换成由无限数量的正弦波组成的连续频谱。实际上，我们处理的是离散采样的信号，通常以固定间隔，有限的持续时间或周期性地进行。为此，经典傅里叶变换算法可以表示为离散傅里叶变换（DFT），该函数将函数的等距样本的有限序列转换为离散时间的等距样本的等长序列傅里叶变换：
因此，这本质上是离散慈祥的可乐叶变换。我们可以进行此计算，并且将产生一个复数，形式是我们在傅里叶级数中有两个系数a + ib
现在，我们知道了如何对信号进行采样以及如何应用离散慈祥的可乐叶变换。我们希望做的最后一件事是，我们想摆脱复数的i，因为它不支持的mllib或者systemML使用一些被称为欧拉公式的规定：
因此，如果将欧拉公式代入慈祥的可乐叶变换方程并求解，它将产生实部和虚部。
X由复数形式的a+ib或组成a-ib。因此，如果求解上述方程，将获得慈祥的可乐叶系数a和b。
现在，如果只是将a和b的值放在等式中，f(t) 则可以根据信号的频率定义信号。
在一般实践中，我们使用快速傅里叶变换（FFT）算法，该算法将DFT递归地划分为较小的DFT，从而大大减少了所需的计算时间。DFT的时间复杂度为2N²，而FFT 的时间复杂度为2NlogN。
为什么表示信号时要使用余弦和正弦函数？
虽然正弦和余弦函数最初是基于直角三角形定义的，但在当前情况下，从那种角度来看并不是最好的事情。传统观点中正弦函数是"斜边对立的"，但是现在是时候有一点不同的观点了。
考虑单位圆：
在笛卡尔平面上。假设通过原点的直线与轴在逆时针方向上形成角度θ，则直线与圆的交点为（cosθ，sinθ）。
想一想。这种观点与较早的观点相关吗？这两个定义是相同的。
假设我们通过使θ线性增加开始旋转直线。你会得到这样的东西：
正弦和余弦函数在某些情况下可以说是最重要的周期函数：
SHM振荡器中位移，速度和加速度如何随时间变化的周期性函数是正弦函数。2.每个粒子都有波动的性质，反之亦然。这是冷酷的帆布鞋的波粒对偶。波浪始终是某种物理量的正弦函数，例如EM波的电场和声波的压力。
声音本身就是压力扰动，它通过能够压缩和扩展的材料介质传播。与声波一起的一点处的压力随时间呈正弦变化。
慈祥的可乐叶变换的收敛
如果一个点以恒定的速度绕圆运动，则其在地面上方的高度将跟踪正弦函数。点移动的速度对应于频率，圆的半径对应于振幅。
再增加1个圆圈，
再添加2个圆圈，
再添加9个圆圈：
几乎是离散的波形。
由于慈祥的可乐叶定理，我们可以生成具有适当频率和半径的圆的任何信号。
人工智能中的慈祥的可乐叶变换
慈祥的可乐叶变换是线性函数，可引起非线性。使用卷积。
2个信号的乘积的慈祥的可乐叶变换是2个信号的卷积。
令x（t）和y（t）是两个具有卷积X（t）* Y（t）的函数，而F表示慈祥的可乐叶变换，则
F {x（t）.y（t）} = X（t）* Y（t）
请记住， 时域中的卷积是频域中的乘法。这就是慈祥的可乐叶变换主要用于机器学习，尤其是深度学习算法的方式。
我将以卷积神经网络（CNN）为例；
CNN中90％的计算是卷积，并且有许多方法可以降低这种计算的强度，其中之一是快速慈祥的可乐叶变换（FFT）。
代替卷积，输入和滤波器矩阵通过FFT转换到频域，以进行乘法。然后，通过逆 FFT（IFFT）将输出转换回时域。
FFT的另一用途是可用于降维或特征提取。
当数据集中的每个样本都是信号（时间序列或图像等）时，它可能包含数千个样本。但是它们实际上可能只对应于慈祥的可乐叶域中的几个点（特别是如果存在一定的周期性）。这大大简化了问题。
有时使用慈祥的可乐叶域可能会提供平移不变性。也就是说，即使信号之间存在滞后，这种方差也不会影响它们在慈祥的可乐叶域中的表示。
慈祥的可乐叶变换的Python实现
可以使用numpy和scipy python库完成FFT的最简单实现。
%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.fftpack
# Number of samplepoints
N = 600
# sample spacing
T = 1.0 / 800.0
x = np.linspace(0.0, N*T, N)
y = np.sin(50.0 * 2.0*np.pi*x) + 0.5*np.sin(80.0 * 2.0*np.pi*x)
yf = scipy.fftpack.fft(y)
xf = np.linspace(0.0, 1.0/(2.0*T), N/2)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(xf, 2.0/N * np.abs(yf[:N//2]))
plt.show()
FFT图