计算线、面、体积分是微积分学科中的重要难点之一，也是理工科大学生必须掌握的核心知识点之一。 本文小乐通过一个具体的案例，提供了一个典型的求解重积分的方法过程，并在其每一步中提供了相应的原理解解释和相关的扩展知识点，供大家系统学习和复习时参考。
首先，给你原题：
使用三重积分计算曲面包围的下一个立体的体积。
求出被曲面包围的立体的体积
得到这个问题后，首先需要分析问题中用方程式表示的这两个曲面分别是什么形状。
根据最初的曲面方程式：
半球面
该方程式通过适当变形，很容易看出表示球体的上半球面(球的中心正好在直角坐标系的原点，球的半径为根编号5 )。
半球面
根据第二个曲面方程：
旋转抛物面
如果忽略y或忽略x，则可以看到抛物线方程(顶点位于原点，开口在上，即z轴为正方向)。 而且，由于x、y的对称性，这个方程式表示旋转抛物面，可以看作顶点正好在原点，开口在上(z轴为正方向)的抛物线绕z轴一圈后得到的曲面。
旋转抛物面
这两个面相交的话，很明显会得出联立方程式。
联立方程式，求解
适当变形方程求解
求解一下，z=1。 也就是说，这两个曲面在z=1的高度相交，相交的形状为圆。
曲面在z=1处相交
那么，把这两个曲面包围的立体沿着z=1，分成两部分得到上下两部分，可以分成块计算体积。
被包围的立体分为两部分
计算三重积分
在上述步骤2中，将ttdmb直角坐标系中的积分转换为圆柱坐标系的积分。 请注意，被积函数必须乘以雅可比行列式(r )。 也就是说，下表中的第三个。
变量的雅可比行列式
然后在第三步，我们马上将重积分变为累积分。 (请注意确定各变量的上下限。
当然，如果这个问题不局限于使用圆柱坐标系计算体积，我们实际上可以使用对面积微小要素进行积分(z是从0到1，然后是从1到根号5 )来求体积的思想。 也就是说，通过累积一层薄片的面积来求出体积。 具体地说，可以将立体切成圆形薄片(与z轴垂直)，按照薄片的面积使用圆面积的公式S=r。 这里，r是根据z而变化的与z相关的函数
面积元片
然后对面积元进行一维积分，这与上述步骤4中得到的公式完全一致，但是计算速度很快，理解也并不复杂。 是验证原答案正确与否的方法。 谢谢您的阅读。