上一期我们讲了十进制数及其转换。本期我们学习了计算机的原码、补码和补码。本期的重点是补码。

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00-1010是解决计算机减法的问题，由于CPU运算单元中只有一个加法器，所以需要将减法转换成加法才能运算；

那么你可能会问，为什么不加减法器呢？

其实除了节约成本，比如1-1=1 (-1)=0，机器只能加不能减，这样设计的电脑操作起来就更简单了。

引入这三种编码的原因是什么？

为什么用补码进行存储？

简单介绍机器数，真值，原码和反码的背景。

计算机中数字的二进制表示称为数字的机器编号。机器是有符号的，符号存储在计算机中一个数字的最高位，正数为0，负数为1。

比如十进制的数字3，计算机字长8位，换算成二进制就是0000 0011。如果是-3，就是1111 1101。然后，00000011和1111 1101这里是机器的数量。机器编号包含符号和数字部分。

00-1010因为第一位是符号位，所以机号的形式值不等于实际数值。

例如，上面的带符号数字1111 1101(其最高位1表示负数)是-3，而不是形式值253(1111 1101被无符号整数转换为等于253的十进制数)。

因此，为了区分，与带符号位的机号对应的真值称为机号的真值。

例：真值0000 0001=000 0001=1，真值1000 0001=0111 1111=127；这里举个例子-3的二进制代码是10000011，这是我们电脑中-3的原始代码。下面介绍一下原代码。

在计算机中，有符号数有三种表示形式：原码、补码和补码。

最高位代表数字的符号，其他位代表数值。

无符号数：值：255(最小0)到(最大255)(正0)

有符号数：值：127(最小值-128)到(最大值127)(减1)

00-1010概念：正数的原码等于它本身，而顾名思义，原码就是原数。

示例：[7]原件=0000111b [-7]原件=10000111B

[0 7——0表示符号位为正3354。电脑的字长是8位，所以中间有8位。000033547二进制表示111——B表示这个数是二进制数]

8位二进制可以表示[1111 1111，0111 1111]，即[-127，127]

1、机器数

概念：正数的倒数等于它自己。

例如：

[7]原件00000111B

[7]倒数=00000111B

概念：负数的补码是其原码的符号位不变，其余位逐位反转。

原始代码：[-7]原始=10000111B

逆码：[-7]逆=11111000B

00-1010概念：正数的补数等于它自己。

尽管C标准没有指定符号数表示，但几乎所有的机器都使用二进制补码。

[7]原文=0000111b [7]补编=0000111b

概念：负数的补码是其原码的符号位不变，其余位逐位反相，最低位加1。

例如：

原始代码：[-7]原始=10000111B

补码：[-7]补码=11111001B

00-1010补码记数法概念：正数的补码与负数的补码一致，负数的符号位为1，既是符号位又是数字位，再加1。

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2、真值

了解补码“模”的概念，这将有助于你更好地理解三码转换的数学原理。

例如，时钟以12进制计数，即模12。

在时钟上，当时针加上(向前拨)整数位12或减去(向后拨)整数位12时，时针的位置保持不变。移除模具12后，14点变成(下午)2点(14=14-12=2)。从0: 00开始逆时针拨10格，即减10小时，或者从0: 00开始顺时针拨2格(加2小时)，即2分(0-10=-10=-10 12=2)。因此，在模12的前提下，-10可以映射为2。因此，对于模数为12的循环系统，加2减10的效果是一样的；因此，在以12为模的系统中，减10的所有运算都可以用加2来代替，这就把减法问题变成了加法。

问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。10和2对模12而言互为补数。同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为16），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满16位也就是65536个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，16位二进制数，它的模数为2^16=65536。在计算中，两个互补的数称为“补码”。比如一个有符号8位的数可以表示256个数据，最大数是0 1 1 1 1 1 1 1（+127），最小数1 0 0 0 0 0 0 0 （-128）；那么第255个数据，加2和减254都是一样的效果得出的结果是第一个数据 ，所以2和254是一样的效果。对于255来说2和254是互补的数。

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负数在计算机中如何表示？

举例来说，+8在计算机中表示为二进制的1000，那么-8怎么表示呢？

很容易想到，可以将一个二进制位（bit）专门规定为符号位，它等于0时就表示正数，等于1时就表示负数。比如，在8位机中，规定每个字节的最高位为符号位。那么，+8就是00001000，而-8则是10001000。

但是，随便找一本《计算机原理》，都会告诉你，实际上，计算机内部采用2的补码（Two’s Complement）表示负数

求一个正数对应补码是一种数值的转换方法，要分二步完成：

第一步

每一个二进制位都取相反值，即取得反码；0变成1，1变成0。比如，00001000的反码就是11110111。

第二步

将上一步得到的反码加1。11110111就变成11111000。所以，00001000的二进制补码就是11111000。也就是说，-8在计算机（8位机）中就是用11111000表示。

不知道你怎么看，反正我觉得很奇怪，为什么要采用这么麻烦的方式表示负数，更直觉的方式难道不好吗？

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二进制补码的好处

计算机内部用什么方式表示负数，其实是无所谓的。只要能够保持一一对应的关系，就可以用任意方式表示负数。所以，既然可以任意选择，那么理应选择一种用的爽直观方便的方式。

二进制的补码就是最方便的方式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使用同一种电路完成。

还是以-8作为例子。假定有两种表示方法。

一种是直觉表示法，即10001000；另一种是2的补码表示法，即11111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便？随便写一个计算式，16 + (-8) = ?16的二进制表示是 00010000，所以用直觉表示法，加法就要写成：

０００１００００

＋１０００１０００原码形式-8

－－－－－－－－－

１００１１０００

可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得到10011000的结果，转成十进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。所以用原码表示负数是不行的。

现在，再来看二进制的补码表示法。

０００１００００

＋１１１１１０００补码形式-8

－－－－－－－－－

１００００１０００

可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，因此最高的第9位是一个溢出位，会被自动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成十进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了，2的补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。

二进制补码的本质，本质是用来表示负整数的

在回答二进制补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个求补码步骤的转换方法是怎么来的。下面描述了一个正数怎么求它对应负数在计算机的表达方式。比如128，正数为10000000，但是惊奇的发现-128也是10000000。但是这里由于属于数据类型的限定，第八位同样一个1代表不同的含义，前面的 1是数值位，后面数的 1是符号位。

要将正数转成对应的负数，其实只要用0减去这个数就可以了。比如，-8其实就是0-8。用模数的概念解释如下图

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已知8的二进制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：

００００００００

－００００１０００

－－－－－－－－－- - - -

因为00000000（被减数）小于0000100（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？很简单，问上一位借1就可以了。

所以，0000000也问上一位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，这是重点；算式也就改写成：

１００００００００

－００００１０００

－－－－－－－－－- - -

１１１１１０００

进一步观察，可以发现可分拆为100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成两个：

１１１１１１１１

－００００１０００

－－－－－－－－－

１１１１０１１１取反

＋０００００００１加一

－－－－－－－－－

１１１１１０００

二进制的补码两个转换步骤就是这么来的。

举个例子，比如-128补码的由来，先把正整数128二进制表示出来10000000求-128的补码

1 1 1 1 1 1 1 1

-1 0 0 0 0 0 0 0

－－－－－－－－－

0 1 1 1 1 1 1 1

+0 0 0 0 0 0 0 1

－－－－－－－－－

1 0 0 0 0 0 0 0

即-128的补码是10000000。8位的结构能表示的最小数是-128；

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有些内容来自于：https://blog.csdn.net/jq_ak47/article/details/45338061

二进制加减乘除原理：https://blog.csdn.net/lyt_angularjs/article/details/80613228

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作者： TianshiyuMogui