本节根据置换的和多重线性函数来推导行列式的展开式
0存在回忆行列式函数d的性质(I ) I，如果存在与j不相等的ai=aj，则d(a1，an )=0；
(ii ) d是其自变量的多重线性函数
(iii ) d ) E1，en )=1；
) iv ) d为其自变量的交错函数时，即交换ai和aj时，d的值改变一个因子(-1 )
1行列式函数d的展开式(1)定义函数d(a1，a2，an )是以a1，a2，an为列的矩阵的行列式，自变量aj是列向量：
因此，函数d满足行列式的性质
(2)性质(ii ) d为多重线性函数，因此有以下情况。
其次，将a2表示为e1，e2，en的线性组合，进而得到一个nxn项的公式。 重复上述步骤n次，如下所示。
这里的总编号表示如果{1，n}到{1，n}的整体映射ff的总和f未被置换，则I不等于j，且fi=fj可根据性质(I )表示：
这表明只要对群体置换进行合计就可以了。
)3)因为各个置换可以分解为交换的乘积，所以根据性质) iv )交换d一次后，d的值改变因子(-1 )。
从置换的性质可以看出：
)4)综合以上公式如下。
这样用自变量的权重表示d，求出了行列式的展开式。
)5)矩阵行列式展开式示例：