文章目录前言曲线积分对弧长的线积分对坐标的线积分直接参数方程法关于格林公式线积分证明问题空间中线积分曲面积分对面积的面积分对坐标的面积分曲面积分证明问题积分应用问题谈了一些
前言
本笔记与基础知识无关，重点是分析应试数学的出题角度和应对措施。 笔记本随着问题的增加而不定期更新。 而且为了提高效率，请以线性组织表的形式代替思维导图，敬请谅解。
如果有错误，欢迎补充指出！
最近更新时间：
2020.07.13添加曲面积分内容
2020.07.15增加多元点应用题内容
2020.07.17曲线积分与曲面积分奇点问题
曲线积分将主题分为四类，
弧长的线积分http://www.Sina.com/http://www.Sina.com /空间中线积分弧长的线积分根据第一种线积分的定义，在各弧线段长度的最大值接近0时与函数f(xi，yi )之积之和的极限
因为长度是标量，所以第一类线积分与积分路径无关。 想象一下要求不均匀密度的曲线形构件的质量。
对坐标的线积分
参数直角坐标系极坐标方程的奇偶性和对称性的前三种计算方法因主题的具体情况而异，计算量相差不大。 遇到双新线等高次方程时，前两种方法计算量大，极坐标方程具有求解问题的优点，应考虑使用极坐标方程。
奇偶性和对称性对直角坐标系作用最明显，最常用。 因为如果能消除一个两个变量的话，计算量就会大幅减少。 还需要考虑参数方程和极坐标方程。
坐标的线积分以平面为例，第二类线积分的定义已经定义了p(x，y )和q ) x，y )两个对应x轴和y轴的函数。 当每个小圆弧段的最大值接近0时，圆弧段被视为有向圆弧段，圆弧段为有向曲线元3358 www.Sina.com/=dx 3358 www.Sina.com/dy http://www.som
第二种线积分路径的方向有关，可以认为平面上的位移作功，将位移分解为沿x轴和y轴的两个分力。 从点a到点b的功和从点b到点a的功相互相反。
曲线积分证明题
直接参数方程法格林公式直接参数方程法直接参数方程法是通用的，但很少使用。 必须掌握有这个方法。
格林公式线积分的大部分问题都离不开格林公式。 格林公式非常优美，证明方法也很熟悉，但不能直观理解。
以下是使用格林公式求解问题的基本思路。
计算
线积分证明问题如果是证明问题，则具有综合性。 以下是为了辅助思考方向而提出的部分角度。
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给出关于线积分计算的一些条件，并结合综合知识点(微分方程、基本不等式、三角函数、极限)等加以证明。 给出了关于线积分计算的一些条件，并用刻画的辅助积分域进行证明。 第一类曲线积分与第二类曲线积分关系、外法线方向余弦和切向量方向余弦的关系。 当空间中线积分变为三维角度时，直接参数法变得有用，不再适用格林公式，需要使用斯托克斯公式。 但是，由于三维是二维的延长，所以不需要将线积分的掌握扩展到三维，三维计算量大。 三维部分在现阶段只需理解，直接掌握参数法即可。
曲面积分主要分为以下三个部分
对于面积的曲面积分坐标的曲面积分曲面积分证明问题与线积分相比，面积分的证明问题更为有限。 我觉得本章的难点还是在于绿色公式的综合应用部分。
面积分第一类曲面积分对面积的定义可以直接与第一类曲线积分类比
根据第一类曲面积分的定义，当各小曲面的直径的最大值接近0时，是各小曲面的面积与函数f(xi，yi，gxdfk] )的乘积之和的极限。 这里，xi、yi、gxdfk是各小圆弧段中的任意一个。
因为面积是标量，所以第一类面积与曲面侧面的选择无关。 可以想象求出不均匀密度的曲面部件的质量。
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直角坐标系的奇偶性和对称性的重心公式与曲线积分相比，参数方程和球坐标系应该较少，难以计算。
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使用直接坐标系时，请注意计算和基本思路：。
例如，在圆柱侧的曲面中，可以将环状的曲线作为面积的微小要素。
如果积分曲线没有z变量，例如圆柱x^2 y^2=9，则无法投影到xOy面。 请尝试投影到xOz或yOz面上。
出题角度
对称性由平面对称性定义，例如，对于xOy平面对称性，观察z在乘积函数中的不对称性。
如果在积分曲面方程式中替换两个变量方程式不变，则在被积函数中替换两个变量积分值也不变。
曲面积分例如对于x=a也是对称的，这意味着关于平面x=a是对称的。 如果被积函数为x-a，则积分为0，从而简化了计算。
/p>形心公式
形心公式不仅适用于二重与三重积分，同时还适用于曲线和曲面积分。公式与重积分相似。
对坐标的面积分仍然可以和对坐标的线积分类比。
有向弧段 >>>> 有向曲面块
对x,y坐标的曲线积分(曲线投影) >>>> 对xOy、yOz、xOz面的曲面积分（曲面投影）
有向曲线元Δr = dxi + dyj >>>> 有向面积元ΔS = dydzi + dzdxj + dxdyk
对坐标的面积分定义了P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)这三个对应yOz、xOz，xOy面投影的函数。当各小曲面块的直径最大值趋于0时，将曲面块视为有向曲面块，且曲面段可以近似用有向曲面积元代替，分别计算各被积函数对应的坐标面和的极限，便为对曲面的第二类积分。
第二类面积分与积分面的侧有关，可以想象为在湍流中的渔网，假设湍流中的液体是不可压缩流体。从渔网进去的流量和从从渔网出去的流量应视为相反。
计算
分别计算（直接计算）高斯公式直接计算
由于写出曲面的参数方程不易，第二类曲面积分直接对各投影面分别计算，将曲面积分转为二重积分计算。
高斯公式
当空间闭区域由分片光滑的曲面围城，且各被积函数有一阶连续偏导数时，闭曲面取外侧，则可以利用高斯公式。
同样的，可以补曲面利用高斯公式，再将补的曲面减回来。
只见过一种，即第一类面积分与第二类面积分的转化。涉及外法线向量。
积分应用题 多元积分应用题多元积分应用题，大致分为两类
单纯求物理量的应用题，包括质心、转动惯量、变力做功、通量、质量，几何度量等。质心和转动惯量的公式要记得。需要分析问题的应用题，这种题更像是物理题，也更难一些。比如经典的雪堆融化题目，需要求出雪堆的体积和侧面积两个物理量，并且列出微分方程。解题的时候要注意可能求解的布置一个物理量，坐标系可能要自己建立，如果有局限的点，注意点在坐标系中选取的位置尽量简便。 多说几句写写我错了几次的地方
“截”出 与 “围”成重积分与线面积分曲线积分与曲面积分的奇点问题第一点，记得有道题，说是圆柱面x^2 + y^2 = 4被平面x + z = 2和z = 0所截出部分的外侧，我寻思这是个封闭图形啊。便用了高斯公式，一看答案说是不封闭图形，我画了好久也没看出哪不封闭了。我觉得可能是我想错了，便花了半个多小时找到了一个3D函数绘制网页验证，果然是封闭的。我没办法只能接着看答案，发现它只算了侧面的部分，平面没有算。当时我打心底感叹(bb)how you made 中国话。
第二点，曲线和曲面积分，积分域是可以等式成立的，比如x^2 + y^2 +z^2 = 1,若计算曲面积分，且被积函数有x^2 + y^2 +z^2 项，可以将1直接带入，简化计算。而重积分不可以，因为重积分是x^2 + y^2 +z^2 <= 1，不等关系。在计算中我们用格林公式或高斯公式，转来转去时，一定要搞清楚现在算的积分是重积分还是曲线面积分，不要混淆了。
第三点，在判断奇点的时候一定要把能替换成常数的式子都替换出来。比如有个题的题意大概是求两问，第一问是求上半球面的外侧，第二问是求上半椭圆面的外侧。被积函数在原点处不连续。我先入为主认定它不连续，即第一问和第二问都有奇点。补面补的很麻烦。但实际是第一问的分母可以直接提出去，之后就含有一阶偏导数补了平面就好了。
那个超好用的3D绘图网站叫做GeoGebra。