幂函数的求导通常由uv=evl nuBM { u ^ v=e ^ { vlnu } } uv=evl nu的形式代替。
例如，计算y=xx(x0 ) y=x^x ) x0 ) y=xx ) x0 )的导数。
y=e x l n x y=e^{xlnx} y=exlnx
y'=(e(((xlnx ) ) xlnx ) y )=(e^{xlnx} ) xlnx ) ) y ) (xlnx ) ) )。
=xx(lnx1) quad=x^x((lnx1)=xx(lnx1) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) lnx1) ) ) ) ) lnx1) ) ) ) ) ) lnx ) ) ) ) ) LX )
如果x=1 e x=frac{1}{e} x=e1，则导数为0；
因为l n
x + 1 lnx+1 lnx+1是单调递增的， x x x^x xx又是恒大于0的，故在 x < 1 e x<frac{1}{e} x<e1时，导数 < 0 <0 <0， x x x^x xx单调递减， x > 1 e x>frac{1}{e} x>e1时，导数 > 0 >0 >0， x x x^x xx单调递增，
故 x = 1 e x=frac{1}{e} x=e1处有极小值;
且当 x → 0 + xto 0_+ x→0+时， lim x → 0 + e x l n x = lim x → 0 + e 1 1 x = 1. limlimits_{xto 0_+}e^{xlnx}=limlimits_{xto 0_+}e^{frac{1}{frac{1}{x}}}=1. x→0+limexlnx=x→0+limex11=1.
用MATLAB验证一下：
clc,clear,close all x=[-0.8:0.01:0.8]; %定义域[-2,2]，精度0.01y=x.^x; %函数表达式plot(x,y,'linewidth',2) %绘图hold onx=0;y=x^x;stem(x,y,'linewidth',2);x=1/exp(1);y=x^x;stem(x,y,'linewidth',2);起初并不知道 x x x^x xx的图像长啥样，就随手运行了一下…
啊这…定义域太大了，改一下，
啊这…精度太低了，改一下，
这是什么图像，怎么左侧貌似全为0？
瞅了眼工作区看来确实不是0.
在[-2,2]上，函数有了这样增增减减的奇葩图像，难怪考研数学爱考他：
仔仔细细的看 x = 0 和 x = 1 e x=0和x=frac{1}{e} x=0和x=e1这两个点：
果然在 x = 1 e x=frac{1}{e} x=e1处有极小值;
且当 x → 0 + 时 = 1. xto 0_+时=1. x→0+时=1.
wjdxn手绘版：
且 x 3 x 、 x 2 x 、 x 1 2 x x^{3x}、x^{2x}、x^{frac{1}{2}x} x3x、x2x、x21x都是有着类似的特性：
同理，幂指函数 x 1 x x^{frac{1}{x}} xx1在 x → 0 + xto 0_+ x→0+时为0，在 x → e xto e x→e时有极大值.