二阶常系数齐次线性微分方程的一般解*本文省略了许多证明，只记录结论
*文中微分方程均指二阶常系数线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程的形式如下
由于aybyc=0是二阶线性微分方程式，所以有记为y1，y2两个解，y1/y2C (即如果两个解之比不是常数，则与y1，y2的线性无关，微分方程式的一般解为：
可以根据y=C1y1 C2y2微分方程的特征方程计算微分方程的两个解：
对于微分方程：
aybycy=0其特征方程如下。
a r 2 r^2 r2 br c=0
(微分方程的n阶微分相对于特征方程的n次幂)
写下微分方程的特征方程后，可以用求根公式求出特征方程的解：
R1，2r _ { 1，2 } R1，2=b2afrac {-bpmsqrt {delta } { 2a } 2ab，=b 2 b^2 b24ac
分以下情况讨论：
当00时，r1、r2是两个不相等的实根
R1=b2ar _ {1}=frac {-bsqrt {delta } } { 2a } R1=2abR2=b2ar _ {2}=frac {-bsqrt {dqr
微分方程的一般解如下
y
= c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x y=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x} y=c1er1x+c2er2x②当Δ=0Δ=0时，r1、r2是两个相等的实根
r 1 = r 2 = − b 2 a r_{1}=r_{2}=-frac{b}{2a} r1=r2=−2ab
微分方程的通解为：
y = ( c 1 + c 2 x ) e r x y=left ( c_{1}+c_{2} xright )e^{rx} y=(c1+c2x)erx
**③当Δ<0Δ<0时， r 1 r_{1} r1、 r 2 r_{2} r2是一对共轭复根:
r 1 r_{1} r1=α+βi， r 2 r_{2} r2=α−βi
其中
α = − b 2 a alpha =-frac{b}{2a} α=−2ab , β = − Δ 2 a beta =frac{sqrt{-Delta }}{2a} β=2a−Δ
微分方程的通解为：
y = ( c 1 cos β x + c 2 sin β x ) e a x y=left ( c_{1}cos beta x+c_{2}sin beta x right )e^{ax} y=(c1cosβx+c2sinβx)eax
转载自：https://blog.csdn.net/baishuiniyaonulia/article/details/79687977
其中数学公式的写出也是话费了我一大波功夫，故在此列出公式转换公式，只需在公式前后加上两个$即可。
公式转换地址：https://private.codecogs.com/latex/eqneditor.php