四、经典概率问题的终极解法——事后事实与先验概率的关系经典问题：有三扇门，其中有汽车，选择正确就可以得到这辆车。 考生选了一扇门后，主持人打开另一扇门，空着。 询问考生是否改变选项。 假设主持人知道有车的门。 经典解法：第一个选择正确的概率是1/3，所以汽车在另外两个门上的概率是2/3。 主持人指出门，如果你开始错误的选择(2/3的概率)，剩下的门上100%有汽车。 如果你第一次选择正确的(1/3)，剩下的门上100%没有车。
所以主持人提示后，如果你不交换的话正确的概率是1/3*100% 2/3*0=1/3，如果你交换的话正确的概率是1/3*0 2/3*100%=2/3。 对于这个解法的诘问，在主持人已经打开了一扇门(而且主持人有意打开了门)的“信息”出现后，是否可以说当初选择错误的概率是2/3呢？ 这个事后事实会不会改变我们对先验概率的看法？ 答案是可以的。 更具体地说，主持人开门后，弄错当初选择的概率不一定是2/3。 从头说起。 假设我选择了B门，主持人打开了C门，他在什么情况下会打开C门呢？
如果a有车(先验概率P=1/3)，主持人100%开门) )他明显不会打开b )。
如果b有车(先验概率P=1/3)，此时主持人有a和c两个选择，假设他以k的概率接通了c (一般K=1/2，但我们先把这个作为变量) )。
c有车时(先验概率P=1/3)，主持人开c的概率为0 )。 我想知道我想知道)知道他开启了c，这是根据贝叶斯公式——，其中P(M|N )表示在n事件发生时m事件发生的概率：
p(b )有车|C开路() p ) c开路|B )有车) ) p ) c开路) p ) c ) c开路|B开路) ) p ) ) p ) p ) p ) p )
这个值什么时候变成1/3呢？ 仅在K=1/2时。 也就是说一般来说。 但是，如果主持人有偏好的话，比如他喜欢打开右边的门，假设C在右边。 如果K=3/4，b有车的概率变为3/5，而不是1/3。 事后事实改变了对先验概率的估计。 但是，这并没有改变正确的选择，我们仍然应该改选A门，说明如下。 p (有A车|C开) (p ) C开|A车) (p )有A车)/p ) C开|A车) ) (有A车) (=-------- ) ) k1 )假设主持人不是极端的c就不会极端到不选的程度)，永远p ) b有车)|C ) ) a有车