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1、高等数学,高等数学电子教案,.-高等数学,主要内容,典型例题,习 题 课,第一章 函数极限与连续,.-高等数学,一、基本要求 1、理解函数的概念、了解函数的性质. 2、理解数列和函数极限的定义；掌握极限的性质、存在准则，熟练应用极限运算法则求数列和函数极限。 3、了解无穷小与无穷大的定义和性质，掌握等价无穷小的运算性质。 4、掌握函数连续性和间断点，理解连续函数的性质。,.-高等数学,(一)极限的概念,(二)连续的概念,二、主要内容,.-高等数学,左右极限,两个重要 极限,求极限的常用方法,无穷小 的性质,极限存在的 充要条件,判定极限 存在的准则,无穷小的比较,极限的性质,数列极限,函 数 。
2、极 限,等价无穷小 及其性质,唯一性,两者的 关系,无穷大,.-高等数学,1. 极限的定义,.-高等数学,.-高等数学,左极限,右极限,.-高等数学,.-高等数学,另两种情形:,.-高等数学,无穷小:,极限为零的变量称为无穷小.,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,无穷大:,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,无穷小与无穷大的关系,2. 无穷小与无穷大,.-高等数学,定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推。
3、论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,无穷小的运算性质,.-高等数学,定理,推论1,推论2,3. 极限的性质,.-高等数学,4. 求极限的常用方法,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.,.-高等数学,5. 判定极限存在的准则,(夹逼准则),.-高等数学,(1),(2),6. 两个重要极限,.-高等数学,定义:,7. 无穷小的比较,.-高等数学,定理(等价无穷小替换定理),8. 等价无穷小的性质,9. 极限的唯一性,.-高等数学,左右连续,在区间a,b 上连续,连续函数 的 性。
4、 质,初等函数 的连续性,间断点定义,连 续 定 义,连续的 充要条件,连续函数的 运算性质,非初等函数 的连续性,.-高等数学,1. 连续的定义,.-高等数学,定理,3. 连续的充要条件,2. 单侧连续,.-高等数学,4. 间断点的定义,.-高等数学,(1) 跳跃间断点,(2)可去间断点,5. 间断点的分类,.-高等数学,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点:,可去型,第一类间断点,跳跃型,.-高等数学,无穷型,振荡型,第二类间断点,第二类间断点,.-高等数学,6. 闭区间的连续性,7. 连续性的运算性质,定理,.-高等数学,定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,。
5、定理2,8. 初等函数的连续性,定理3,.-高等数学,定理4 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,9. 闭区间上连续函数的性质,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,.-高等数学,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,.-高等数学,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.,.-高等数学,2.,1.,3.,典型例题,.-高等数学,6.,4.,5.,.-高等数学,典型例题解答,1.,.-高等数学,解,将分子、分母同乘以因子(1-x), 则,.-高等数学,解,解法讨论,2.,.-高等数学,.-高等数学,解,3.,.-高等数学,4.,解,.-高等数学,.-高等数学,.-高等数学,解,5.,.-高等数学,.-高等数学,证明,讨论:,6.,.-高等数学,由零点定理知,综上。