欧拉是数学家心目中的英雄，欧拉积分具有重要的应用。先给出欧拉积分的性质以便为进入分数阶微积分打下基础。
1.1 $beta$函数定义$$B(alpha,beta)=int_{0}^{1}x^{alpha-1}(1-x)^{beta-1}dx$$
易看出$0$和$1$为奇点，积分在$alpha>0,beta>0$时收敛.
a.对称性
$$B(alpha,beta)=B(beta,alpha)$$
只需作积分变量代换$x=1-t$即可.
begin{eqnarray*}
B(alpha,beta)&=&int_{0}^{1}x^{alpha-1}(1-x)^{beta-1}dx\&=&int_{0}^{1}(1-t)^{alpha-1}t^{beta-1}dt\&=&B(beta,alpha)
end{eqnarray*}
b.递推公式
如果$alpha>1$,那么成立等式
$$ B(alpha,beta)= frac{alpha-1}{alpha+beta-1}B(alpha-1,beta) $$
证明：利用分部积分法
begin{eqnarray*}
B(alpha,beta)&=&-frac{1}{beta}x^{alpha-1}(1-x)^{beta}|_{0}^{1}+frac{alpha-1}{beta}int_{0}^{1}(1-x)^{beta}x^{alpha-2}dx\
&=&int_{0}^{1}(1-x)^{beta-1}(1-x)x^{alpha-2}dx\
&=&frac{alpha-1}{beta}int_{0}^{1}(1-x)^{beta-1}x^{alpha-2}dx-frac{alpha-1}{beta}int_{0}^{1}(1-x)^{beta-1}x^{alpha-1}dx\
&=&frac{alpha-1}{beta}B(alpha-1,beta)-frac{alpha-1}{beta}B(alpha,beta)
end{eqnarray*}
从而有
$$ B(alpha,beta)= frac{alpha-1}{alpha+beta-1}B(alpha-1,beta) $$
一个特例$m,nin N_{+}$
$$B(m,n)=frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$$
c.其他变化形式
令$x=sin^{2}t$,则有
$$B(alpha,beta)=int_{0}^{pi/2}sin^{2alpha-1}tcos^{2beta-1}tdt$$
令$x=frac{y}{1+y}$，则有
$$B(alpha,beta)=int_{0}^{infty}frac{y^{alpha-1}}{(1+y)^{alpha+beta}}dy$$
特别地，
$$B(alpha,1-alpha)=int_{0}^{infty}frac{y^{alpha-1}}{1+y}dy$$
1.2 $Gamma$函数
定义
$$Gamma(s)=int_{0}^{infty}x^{s-1}e^{-x}dx$$
a.可微性
$Gamma$函数无限次可微且
$$Gamma ^{(n)}(s)=int_{0}^{+infty}x^{s-1}ln^{n}xe^{-x}dx$$
b.递推公式
$$Gamma(s+1)=sGamma(s)$$
证明：利用分部积分法
begin{eqnarray*}
Gamma(s+1)&=&int_{0}^{+infty}x^{s}e^{-x}dx\
&=&-x^{s}e^{-x}|_{0}^{+infty}+sint_{0}^{+infty}x^{s-1}e^{-x}dx\
&=&sGamma(s)
end{eqnarray*}
一个特例
$$Gamma(n)=(n-1)!$$
c.极限表达式（欧拉公式）
$$Gamma(s)=lim_{nto infty}n^{s} frac{(n-1)!}{s(s+1)cdots (s+n-1)}$$
证明：
begin{eqnarray*}
Gamma(s)&=&int_{0}^{infty}e^{-x}x^{s-1}dt\
&=&lim_{nto infty}int_{0}^{n}(1-frac{x}{n})^{n}x^{s-1}dt\
&=&lim_{nto infty}n^{s}int_{0}^{1}(1-tau)^{n}tau ^{s-1}dtau\
&=&lim_{nto infty}n^{s}B(n+1,s)\
&=&lim_{nto infty}n^{s}frac{Gamma(n+1)Gamma(s)}{Gamma(n+s+1)}\
&=&lim_{nto infty}n^{s}frac{(n-1)!}{s(s+1)cdots (s+n-1)}
end{eqnarray*}
d.余元公式
$$Gamma(s)Gamma(1-s)=frac{pi}{sin pi s}(0<s<1)$$
证明：
利用上式所得到的极限表达式，则得
begin{eqnarray*}
Gamma(s)Gamma(1-s)&=&lim_{nto infty}n^{s}frac{(n-1)!}{s(s+1)cdots (s+n-1)}n^{1-s}frac{(n-1)!}{(1-s)(2-s)cdots (n-s)}\
&=&frac{1}{s} lim_{ntoinfty}nfrac{1}{(1+s)(1+frac{2}{s})cdot (1+frac{s}{n-1})} frac{1}{(1-s)(1-frac{s}{2}cdot (1-frac{s}{n-1})(n-s)}\
&=&frac{1}{s}frac{1}{prod_{n=1}^{infty}(1-frac{s^2}{n^2})}\
end{eqnarray*}
利用由Euler发现的等式
$$sin pi x=pi xprod_{n=1}^{infty}(1-frac{x^2}{n^2})$$
于是成立余元公式
$$Gamma(s)Gamma(1-s)=frac{pi}{sin pi s}(0<s<1)$$
特别地,令$s=frac{1}{2}$
$$Gamma(frac{1}{2})=sqrt{pi}$$
e.$Gamma$函数与$beta$函数的关系
$$B(alpha,beta)=frac{Gamma(alpha)Gamma(beta)}{Gamma(alpha+beta)}$$
证明：
作变换$x=u^{2},y=v^{2}$则
begin{eqnarray*}
Gamma(alpha)Gamma(beta)&=&int_{0}^{+infty}x^{alpha-1}e^{-x}dxint_{0}^{+infty}y^{beta-1}e^{-y}dy\
&=&4int_{0}^{+infty}u^{2alpha-1}e^{-u^2}duint_{0}^{+infty}v^{2beta-1}e^{-v^2}dv\
&=&4int_{0}^{+infty}int_{0}^{+infty}u^{2alpha-1}v^{2beta-1}e^{u^2+v^2}dudv\
&=&4int_{0}^{pi/2}cos^{2alpha-1}thetasin^{2beta-1}theta dtheta(Let u=rcostheta,v=rsintheta)\
&=&B(alpha,beta)Gamma(alpha+beta)
end{eqnarray*}
f.$Gamma$函数的推广
$$Gamma(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^{n}}{n+x}cdot frac{1}{n!}+int_{1}^{infty}t^{x-1}e^{-t}dt$$
这个等式对除去点$0,-1,-2,cdots$以外的复数$z$定义$Gamma(z)$.
g.所谓的倍角公式($Legendre$)
$$Gamma(s)Gamma(s+frac{1}{2})=sqrt{pi}2^{1-2s}Gamma(2s)$$
此式可作进一步的推广
$$Gamma(s)Gamma(s+frac{1}{m})Gamma(s+frac{2}{m})cdots Gamma(s+frac{m-1}{m})=(2pi)^{(m-1)/2}m^{1/2-ms}Gamma(ms)$$
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