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几种常见的曲面及其方程.ppt32页
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第四节 1. 空间一动点到定点的距离为定值，该动点轨迹叫球面。 例2. 研究方程 3、旋转曲面 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 二、二次曲面 1. 椭球面 2. 抛物面 3. 双曲面 (2) 双叶双曲面 4. 椭圆锥面 内容小结 2. 二次曲面 2、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 3、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 又如, * 一、几种常见的曲面及其方程 二、二次曲面 三、曲线 曲面与曲线 第七章 由两点间距离公式 特别,当M0在原点时,球面方程为 设轨迹上动点为 定值为R， 定点 表示上(下)球面 . 定点叫球心，定值叫半径。 解: 配方得 此方程表示: 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. 表示怎样 半径为 的球面. 球心为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. 2、柱面. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. ? 抛物柱面, 椭圆柱面. 经过z 轴的平面. 以上的柱面母线都平行于Z轴 C 叫做准线, l 叫做母线. 圆柱面 一般地,在三维空间 柱面, 柱面, 平行于 x 轴; 平行于 y 轴; 平行于 z 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 母线 柱面, 准线 xoy 面上的曲线 l1. 母线 准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 . 例如 : 故旋转曲面方程为 当绕 z 轴旋转时, 若点 给定 yoz 面上曲线 C: 则有 则有 该点转到 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 两边平方 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 绕 z 轴旋转 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 ) (1)范围： (2)与坐标面的交线：椭圆 与 的交线为椭圆： (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 同样 的截痕 及 也为椭圆. 当a＝b＝c 时为球面. (3) 截痕: 为正数) (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号) (2) 双曲抛物面(鞍形曲面) 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. ( p , q 同号) (1)单叶双曲面 椭圆. 时, 截痕为 (实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴) 平面 上的截痕情况: 双曲线: 虚轴平行于x 轴) 时, 截痕为 时, 截痕为 (实轴平行于z 轴; 相交直线: 双曲线: 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线 单叶双曲面 双叶双曲面 图形 椭圆 在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. ① (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到, 见书 P316 ) 1. 空间曲面 三元方程 球面 旋转曲面 如, 曲线 绕 z 轴的旋转曲面: 柱面 如,曲面 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . 三元二次方程 椭球面 抛物面: 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面: 1、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. C 三、曲线 又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线 的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 . 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C′为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 上半球面 和锥面 在 xoy 面上的投影曲线 二者交线 所围圆域: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . (2) (1) 几
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