结论： ataa ^ ta ATA不一定是正定矩阵，但一定是半正定矩阵(即特征值一定在0以上)。
证明：
对于任意非零xrx(in ) mathbb ) r ) xr，存在
如果xatax=(ax ) TAx0x^{t}a^tax=(ax ) }^tax ) geqslant0xtatax=) ax ) tax0之外的向量x x x位于aa的零空间中，那么(ax ) tA x 因此，ataa￣taATA虽然不一定是正定矩阵，但必须是半正定矩阵(正定矩阵对于任意非零x x x，必须满足二次型大于0 )。
结论2 :
A T A A^TA ATA是正定矩阵的充分必要条件是 A A A 满足列满秩。证明：
如果 A A A 满足列满秩，那么 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解只有 x = 0 x=0 x=0，也就是说对于任意非零 x ∈ R xinmathbb{R} x∈R， A x ≠ 0 Ax neq 0 Ax=0，那么 ( A x ) T A x ≠ 0 = x T A T A x {(Ax)}^TAx neq 0 = x^{T}A^TAx (Ax)TAx=0=xTATAx，即 A T A A^TA ATA 是正定矩阵，正定矩阵一定可逆。反着可以推回去。
结论3：行满秩矩阵乘以列满秩矩阵，得不到满秩矩阵。例如： [ 1 0 ] ∗ [ 0 1 ] ⊤ = 0 [1~~0]*[0~~1]^{top}=0 [1 0]∗[0 1]⊤=0。
结论4：如果 B boldsymbol{B} B是半正定，给定 δ > 0 delta>0 δ>0， ( δ I + B ) − 1 (deltaboldsymbol{I}+boldsymbol{B})^{-1} (δI+B)−1 是正定的, ( δ I + B ) − 1 (deltaboldsymbol{I}+boldsymbol{B})^{-1} (δI+B)−1一定存在。
证明：
如果 B boldsymbol{B} B是半正定，令 B = P T P boldsymbol{B}=boldsymbol{P}^{T}boldsymbol P B=PTP，P为半正定。
结论4：如果 A A A是行满秩， B B B是列满秩，那么一定存在 K K K使得 A K B AKB AKB的特征值均正（不一定是正定矩阵）。
证明：取 K K K为 A T B T A^TB^T ATBT，则 A K B = A A T B T B AKB=AA^TB^TB AKB=AATBTB。其中，根据结论2， A A T AA^T AAT和 B T B B^TB BTB均为正定矩阵，两个正定矩阵相乘，根据20211130 正定矩阵的几个不等式的结论4，特征值一定均正，但是不一定是正定矩阵。