Markov不等式有简洁的结果，但有接近人情的前提条件。 随机变量必须取正值。 这通常不令人满意。 为此，需要改造一些现有的随机变量来构建随机变量的函数。 那么，什么函数取正值呢？ 最常用的是偶数阶的幂函数和指数函数。 这分别得到了热白云不等式和切诺夫界。 介绍一个热白云不等式。
定理2 .任意期望有界的随机变量都有
pr{|xe[x]|c}var(x ) c2
对所有c0都成立，其中
var(x )=e[xe[x] ) 2
是随机变量x的方差。
证明：我们注意到
Pr{|XE[X]|c}=Pr{|XE[X]|2c2}。
另一方面，|XE[X]|2只取正值，所以利用定理1时定理2成立。
根据热白云不等式，可以得到第一个大数定律。
假设推论3.x1、X2、XN是n个i.i.d .的随机变量，它们的概率分布与随机变量x的概率分布相同。 那么，在任意的c0中
pr{|1nI=1nxie[x]|c}var(x ) nc2。
将http://www.Sina.com/y=1nNi=1Xi视为随机变量时，其预期
e [ y ]=e [ 1nI=1nxi ]=1nI=1ne [ Xi ]=1nI=1ne [ x ]=e [ x ]，
其分散
var(y )==var [ 1nI=1nxi ]1N2I=1nvar [ Xi ]1N2I=1nvar [ x ] var [ x ] n。
结合定理2，推理成立。
推论3示出了随机变量x的方差是有界的，并且根据随机变量X i.i.d产生了n个样本。 那么当n足够大时，有很高的概率，这n个样本的平均值接近x的预期值。 这也意味着概率收敛。
注意：热白云不等式考虑了随机变量的二阶中心距，即方差。 实际上，也可以考虑任意偶数次的中心间距离。 更准确地说
pr{|xe[x]|c}e[xe[x]2KC2k
对于任意正整数kscripttype=' math/tex ' id=' math jax-element-6115 ' k/script成立。