1.黎曼流形
定义：黎曼流形(Riemannian manifold )是微分流形，各点p的切空间定义点积，其值随p平滑变化。 可以定义弧长、角度、面积、体积、曲率、函数梯度以及向量域的散度。
上述定义来自维基百科(https://zh.wikipedia.org/wiki/黎曼流形)。 对于一个流形m，给出该流形的适当黎曼测度d，则该流形m成为一个黎曼流形。 黎曼测度是定义中提到的截断流形上空间的点积。
最典型的黎曼流形是SPD流形、格莱斯曼流形(Grassmann manifold )。
2.黎曼测度
请想起欧式空间。 在计算欧式空间中点与点之间的距离时，直接利用向量的模运算就可以了，但由于流形上不是向量空间，因此向量运算不适用于流形。 想测量流形上的点与点之间的距离时，一般使用黎曼测度。
一个黎曼测度通常表示为d(x1，x2 )，x1和x2都是流形上的点。 通俗地说，在流形上利用测度测量点与点之间的距离，得到流形的大致几何结构。 黎曼测度通常经过log映射将流形上的点映射到紧空间上，通过紧空间上定义的点积计算距离。
典型的黎曼测度是Log_Euclidean测度(相关链路)、airm (affineinvariantriemannianmetric测度)、相关链路)、Bregman分集链路。