流形中的向量和向量场
1)流形中的向量是线性代数中向量空间的推广，中间需要欧氏空间的过渡，否则很抽象。所以我们必须对向量空间有深刻的认识；2)向量空间中没有点的概念，但在欧洲空间中，点是最基本的概念。首先，建立点(在欧洲空间中)和向量空间之间的联系；3)发现基于欧洲空间任意点的各种方向和长度的直线段满足向量空间的条件(俗称线性8条件)；4)另一方面，我们认为欧洲空间中的向量是预先存在的，向量空间是一个抽象的概念。另一方面，很有趣；5)由于欧洲空间中的任意一点都是基础，各种方向和长度的直线段都是一组无穷元素，这个集合就是向量空间。那么自然，流形上的点能做到这一点吗？6)不是，因为流形上的点比较容易确定，但是坐标分量很多，但是方向无法确定。与欧洲空间不同，方向可以用直线段上一点的坐标来描述。另一方面，流形是不同的。再找一点没有意义，因为流形是一个不断变化的空间。
7)如何定义方向？1)那只能重新定义方向。设v是R3中任意点p处的箭头，那么沿v可以得到R3上一个光滑函数的方向导数，这个导数函数在点p处的值是一个实数。可以看出，V是把F变成实数的映射；8)因此，流行的向量必须是方向导数。为什么会这样，因为流形的方向必须由更本质的方向来定义；9)好在导数也是线性的，不违反“线性8条件”。意味着导数也满足莱布尼茨定律，这一点非常重要。10)好吧，上面有一个结论，向量是把函数f变成实数的映射。bqdz也是吗？11)之所以提出这个问题，是因为我们知道一维bqdz是一个向量。12) bqdz还行！而且更有趣！Bqdz也是函数到实数的映射！广义相对论的黎曼曲率bqdz就是最好的例子！
13)广义相对论表明，它与坐标和参数无关。也就是说，如果指定了一个点(四维时空单位)，那么所有黎曼函数的值都确定了，好吗。勤奋的月亮认为左边时空变换的真值和右边能量对应的真值一定有一定的正比关系！这个比例常数可以用chdxj重力的近似公式求得。14)哦，我的上帝。领域不重要，范围也不重要。也就是映射相等。还有其他bqdz方程吗？15)月球场的辛苦方程是广义相对论的核心。点(四维时空单位)不重要，但点对应的功能芽很重要。如上所述，向量是方向导数，函数芽是余切，所以是一阶，函数芽空间的对偶空间需要二阶(因为曲率是二阶导数)才是三阶，所以黎曼曲率bqdz的阶是1 1 2=4阶。16)显然，F的不同物理量是不同的，所以各种F的方向导数就是对应的矢量场。例如，如果引力函数是f3，那么f3的方向导数就是对应的引力场。以上理解对吗？还有哪些bqdz方程？