分离和支持超平面(separatingandsupportinghyperplanes )1.分离超平面定理
定理：假设c和d不相交的两个凸集，即CD=。 然后存在a0和b，使得atxb用于所有xC，而atxb用于所有xD。
也就是说，仿射函数aTxb在c中不是正的，在d中不是负的。
超平面{x|aTx=b}是分离c和d的分离超平面，或称为分离c和d。
如图所示，超平面{x|aTx=b}分离了不相交的凸集合c和d。 仿射函数aTxb在c中为正，在c中为非负的d。
分离超平面定理的证明
假设c和d之间(高贵香菇)的距离，定义如下
且为正，同时点cC和dD达到最小距离，即存在|||CD|^2=dist(c，d )。 满足这些条件，例如，如果c和d闭且有有界的组，则满足这些条件。 ）
其中
证明仿射函数
在c中是非正的，在d中是非负的，即用超平面{x|aTx=b}来划分c和d。 此超平面垂直于c和d之间的线段，并通过其中点。
首先证明f是d，是非负的。 f在c中是非正的证明是相似的(或者接下来交换c和d考虑f )。 假设有uD点
可以将f(u )表示为
我们看到了(DC ) t ) ud ) 0的意思。 现在我们观察到的是
所以，关于几个小t0，和t1，我们
严格分离
我们以上构造的分离超平面满足所有xC的aTxb的强条件，所有x的aTxb xD .这被称为严格分离集c和d。 简单的例子表明，一般情况下，不相交凸集不需要被超平面严格分离，但在许多特殊情况下可以建立严格分离。
支撑超平面
假设CrN和x0是边界bdC上的点，
如果=0满足所有xC的aTxaTx0，则超平面{x|aTx=aTx0}被称为在x0点支持c的超平面。
这相当于这样用超平面{x|aTx=aTx0}分割点x0和集合c。 在几何学的解释中，超平面{x|aTx=aTx0}在x0处与c相接，但在半空间{ x|atxatx0}中包含c。
如图所示，超平面{x|aTx=aTx0}对应于位于x0的c。